Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝6，點D是BC邊上一動點（不與B、C重合），過點D作DE⊥BC交AB邊于點E，將∠B沿直線DE翻折，點B落在射線BC上的點F處，當△AEF為直角三角形時，BD的長為_____．

Answer 1

【答案】2或4

【解析】

分兩種情況來解：

（1）當∠AFE=90°時，在Rt△ABC中，根據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可求得AB＝，然后由翻折的性質(zhì)可求得∠AEF=60°，從而可求得∠EAF=30°，故此AE=2EF，由翻折的性質(zhì)可知:BE=EF，故此AB=3BE，所以EB=，最后在Rt△BED中利用特殊銳角三角函數(shù)值即可求得BD的長；

（2）當點F在BC的延長線上時，∠EAF=90°，然后依據(jù)角平分線的性質(zhì)可得到ED=AE，然后再證明△BED∞△BAC，最后依據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可．

解：分兩種情況：

（1）當∠AFE=90°時，如解圖1所示

∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，

∴，即．

∴AB＝

∵∠B＝30°，DE⊥BC，

∴∠BED＝60°．

由翻折的性質(zhì)可知：∠BED＝∠FED＝60°，

∴∠AEF＝60°．

∵△AEF為直角三角形，

∴∠EAF＝30°．

∴AE＝2EF．

由翻折的性質(zhì)可知：BE＝EF，

∴AB＝3BE．

∴EB＝．

在Rt△BED中，∠B＝30°，

∴，即．

∴BD＝2．

（2）當∠EAF=90°時,點F在BC的延長線上．如解圖2所示：

∵△AEF為直角三角形，

∴∠EAF＝90°，

∴∠EFA＝30°．

∴∠EFD＝∠EFA．

又∵ED⊥BF，EA⊥AF，

∴AE＝DE．

∵BC＝6，∠ACB＝90°，∠B＝30°，

∴AB＝，AC＝

設DE＝x，BE＝﹣x．

∵DE∥AC，

∴，，解得：x＝．

∴BD＝DE＝×=4

故答案為：2或4．