Question

如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為24厘米，∠A=60°，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿線路AB→BD作勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)D同時(shí)出發(fā)沿線路DC→CB→BA作勻速運(yùn)動(dòng)．
（1）求BD的長(zhǎng)；
（2）已知點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的速度分別為4厘米/秒，5厘米/秒，經(jīng)過(guò)12秒后，P、Q分別到達(dá)M、N兩點(diǎn)，若按角的大小進(jìn)行分類(lèi)，請(qǐng)你確定△AMN是哪一類(lèi)三角形，并說(shuō)明理由；
（3）設(shè)（2）中的點(diǎn)P、Q分別從M、N同時(shí)沿原路返回，點(diǎn)P的速度不變，點(diǎn)Q的速度改變?yōu)閍厘米/秒，經(jīng)過(guò)3秒后，P、Q分別到達(dá)E、F兩點(diǎn)，若△BEF與（2）中的△AMN相似，試求a的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)證△ABD是等邊三角形即可；
（2）求出P Q走的距離，再根據(jù)等腰三角形性質(zhì)即可推出答案；
（3）分為三種情況：根據(jù)相似，得到比例式，求出Q走的距離，即可求出答案．

解答：解：（1）∵菱形ABCD，
∴AB=AD，
∵∠A=60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∴BD=AB=24厘米．
答：BD=24厘米．

（2）12秒時(shí)，P走了4×12=48，
∵AB+BD=24+24=48，
∴P到D點(diǎn)，
同理Q到AB的中點(diǎn)上，
∵AD=BD，
∴MN⊥AB，
∴△AMN是直角三角形．


（3）有三種情況：如圖（2）
∠ANM=∠EFB=90°，∠A=∠DBF=60°，DE=3×4=12=

1

2

AD，
根據(jù)相似三角形性質(zhì)得：BF=

1

2

AN=6，
∴NB+BF=12+6=18，
∴a=18÷3=6，
同理：如圖（1）求出a=2；
如圖（3）a=12．
∴a的值是2或6或12．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，菱形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．