Question

已知∠AOB內(nèi)有一點P，試在OA、OB上求點M、N，使△PMN的周長最短．（要求尺規(guī)作圖，寫出作法步驟證明）

Answer 1

證明：由對稱點的性質(zhì)可知，
OA為PQ的中垂線，
故PM=QM．
同理：PN=NR．
∴△PMN的周長=線段QR的長，
當(dāng)在OA，OB上取其它點E，F(xiàn)時，如圖中△PEF，
△PEF的周長=PE+EF+PF=QE+EF+RF，
顯然QE+EF+RF＞QR，
∴△PMN為周長最短的三角形．
分析：先根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作出P關(guān)于OA、OB的對稱點Q、R，連接QR，與OA、OB交點即為M、N．再在OA、OB上另取E、F，根據(jù)兩點之間線段最短得到QR為最短距離．
點評：此題考查了軸對稱---最短路徑問題，將三角形的周長轉(zhuǎn)化為直線和折線的長度再進(jìn)行比較是解答此題的關(guān)鍵．