Question

如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB=110°，∠BOC=α．將△BOC繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，連接OD．

（1）求證：△COD是等邊三角形；
（2）當(dāng)α=150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；
（3）探究：當(dāng)α為多少度時，△AOD是等腰三角形？

Answer 1

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可證得結(jié)論；（2）直角三角形；（3）140°或110°或125°

試題分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可證得結(jié)論；
（2）結(jié)合（1）的結(jié)論即可作出判斷；
（3）找到變化中的不變量，然后利用旋轉(zhuǎn)及全等的性質(zhì)即可做出解答．
（1）根據(jù)題意知：△BOC≌△ADC
所以CO＝OD，ΔABC為等腰三角形
因?yàn)椤螩OD＝60°
所以△ADO是等邊三角形
（2）由△ADO是等邊三角形知∠ODC＝60°
由旋轉(zhuǎn)知∠ADC＝∠BOC=150^O
所以∠ADO=150-60=90^O
所以三角形AOD為直角三角形
（3）1)當(dāng)DO＝DC時
因?yàn)镈O＝AO，DC＝BO    
所以O(shè)A＝OB
又因?yàn)镺C＝OC，AC＝BC    
所以△ACO≌△BCO
所以∠ACO＝∠BCO＝60°/2＝30°  
因?yàn)椤螧OC＝110°
所以∠AOC＝110°    
所以∠AOB＝360°－110°×2＝140°即x＝140
2)當(dāng)DO＝CO時
因?yàn)镈O＝AO所以O(shè)A＝OC    
又因?yàn)镺B＝OB，AB＝BC
所以△ABO≌△CBO     
所以∠AOB＝∠COB＝110°即x＝110°
3)當(dāng)CO＝CD時
因?yàn)镃D＝BO
所以CO＝BO
因?yàn)锳O＝AO，AB＝AC
所以△ABO≌△ACO
所以∠AOB＝∠AOC
所以∠AOB＝(360°－110°)÷2＝125°，解得x＝125°
綜上所述，當(dāng)x＝140°或x＝110°或x＝125°時△DOC是等腰三角形
點(diǎn)評：本題以“空間與圖形”中的核心知識（如等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與證明、直角三角形的判定、多邊形內(nèi)角和等）為載體，內(nèi)容由淺入深，層層遞進(jìn)．試題中幾何演繹推理的難度適宜，蘊(yùn)含著豐富的思想方法（如運(yùn)動變化、數(shù)形結(jié)合、分類討論、方程思想等），能較好地考查學(xué)生的推理、探究及解決問題的能力．