Question

【題目】二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，且經(jīng)過點(diǎn)A(1，)；點(diǎn)F(0，1)在y軸上．直線y=－1與y軸交于點(diǎn)H．

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)點(diǎn)P是(1)中圖象上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線與直線y＝－1交于點(diǎn)M，求證：點(diǎn)M到∠OFP兩邊距離相等.

Answer 1

【答案】(1)y＝x2；(2)見解析.

【解析】

（1）由于二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，可設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2．將點(diǎn)A（1，）代入，求出a的值，得到二次函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x2），過點(diǎn)P作PB⊥y軸于點(diǎn)B，在Rt△BPF中利用勾股定理求出PF==．根據(jù)PF=PM，得出∠PFM=∠PMF，又根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠MFH=∠PMF，等量代換得出∠PFM=∠MFH，那么FM平分∠OFP，點(diǎn)M到∠OFP兩邊距離相等.

（1）解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2．

將點(diǎn)A（1，）代入，得a=，

所以二次函數(shù)的解析式為y=x2；

（2）證明：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x2），

過點(diǎn)P作PB⊥y軸于點(diǎn)B，則BF=| x2-1|，PB=x，

∴Rt△BPF中，PF==.

∵PM⊥直線y=-1，

∴PM=x2+1，

∴PF=PM，

∴∠PFM=∠PMF，

又∵PM∥y軸，

∴∠MFH=∠PMF，

∴∠PFM=∠MFH，

∴FM平分∠OFP，

∴點(diǎn)M到∠OFP兩邊距離相等.