Question

我們給出如下定義：如果一個(gè)三角形的一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍，我們稱這樣的三角形為“倍角三角形”．在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別為a、b、c．
（1）若∠A=2∠B，且∠A=60°，求證：a²=b（b+c）．
（2）如果對(duì)于任意的倍角三角形ABC（如圖），其中∠A=2∠B，關(guān)系式a²=b（b+c）是否仍然成立？請(qǐng)證明你的結(jié)論；
（3）試求出一個(gè)倍角三角形的三條邊的長(zhǎng)，使這三條邊長(zhǎng)恰為三個(gè)連續(xù)的正整數(shù)．

Answer 1

（1）證明：∵∠A=2∠B，且∠A=60°，
∴∠B=30°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=90°，
∴a²+b²=c²，c=2b，
∴a²=c²-b²=（2b）²-b²=3b²=b²+2b²=b²+bc=b（b+c）．

（2）關(guān)系式a²=b（b+c）仍然成立．
證明：如圖，延長(zhǎng)BA至點(diǎn)D，使AD=AC=b，連接CD．
則△ACD為等腰三角形，
∴∠ACD=∠D，
∵∠BAC為△ACD的一個(gè)外角，
∴∠BAC=∠D+∠ACD=2∠D，
∵∠BAC=2∠B，
∴∠B=∠D，
∴CD=BC=a，∠B=∠ACD，
∴BD=AB+AD=b+c，
又∵∠D為△ACD與△CBD的一個(gè)公共角，
∴△ACD∽△CBD．…
∴，即，
∴a²=b（b+c）．

（3）若△ABC是倍角三角形，由∠A=2∠B，應(yīng)有a²=b（b+c），且a＞b．
當(dāng)a＞c＞b時(shí)，設(shè)a=n+1，c=n，b=n-1，（n為大于1的正整數(shù)）
代入a²=b（b+c），得（n+1）²=（n-1）•（2n-1），
解得：n=5，
∴a=6，b=4，c=5，可以證明這個(gè)三角形中，∠A=2∠B；
當(dāng)c＞a＞b或a＞b＞c時(shí)，
均不存在三條邊長(zhǎng)恰為三個(gè)連續(xù)正整數(shù)的倍角三角形．
∴邊長(zhǎng)為4，5，6的三角形為所求．
分析：（1）由∠A=2∠B，且∠A=60°，可求得∠C=90°，由勾股定理與c=2b，即可證得：a²=b（b+c）；
（2）首先延長(zhǎng)BA至點(diǎn)D，使AD=AC=b，連接CD，易證得△ACD與△BCD是等腰三角形，AC=AD=b，BC=CD=a，BD=b+c，又由△ACD∽△CBD，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得答案；
（3）由題意得：若△ABC是倍角三角形，由∠A=2∠B，應(yīng)有a²=b（b+c），且a＞b；然后分別從a＞c＞b，c＞a＞b，a＞b＞c去分析，即可求得符合要求的值．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、一元二次方程的求解方法以及三角形的三邊關(guān)系．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．