Question

25、如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E是邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，EF⊥DE交BC于點(diǎn)F．
（1）求證：△ADE∽△BEF；
（2）連接DF，△ADE與△DEF是否一定相似？若一定相似，請(qǐng)加以證明；若不一定相似，請(qǐng)你求出當(dāng)△ADE與△DEF相似時(shí)，AE的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析：（1）都是直角三角形，只需再找一對(duì)銳角相等即可．因?yàn)镋F⊥DE，所以∠AED+∠BEF=90°．又∠BEF+∠BFE=90°，所以∠AED=∠BFE．問題得證．
（2）因不具備全等的條件，所以不一定相似．若相似，除直角對(duì)應(yīng)相等外，其它的對(duì)應(yīng)關(guān)系不明確，所以需分兩種情況討論：
①△ADE∽△EDF，②△ADE∽△EFD．根據(jù)相似三角形性質(zhì)，分別得比例線段求解．

解答：（1）證明：∵EF⊥DE，∴∠AED+∠BEF=90°．
又∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠AED=∠BFE．
∵∠A=∠B=90°，
∴△ADE∽△BEF，（3分）

（2）解：不一定相似．（4分）
①若△ADE∽△EDF，則AE=2（6分）
②若△ADE∽△EFD，則AE無解．（7分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定，在對(duì)應(yīng)關(guān)系不明確的情況下，需分類討論．