Question

已知，如圖△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，CD=，BD=2，求平分線AD的長，AB，AC的長，外接圓的面積，內(nèi)切圓的面積．

Answer 1

【答案】分析：首先設(shè)AC的長為x，過D作DE垂直AB于點E．根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理及相似三角形的性質(zhì)，可得到關(guān)系式4x²=27+x²，解得x即為AC的長，再利用勾股定理求得AB、AD的長．根據(jù)直角三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)、外接圓的性質(zhì)，求得其半徑，根據(jù)圓的面積計算公式即可求出結(jié)果．
解答：解：設(shè)AC的長為x，過D作DE垂直AB于點E，
則BC=BD+DC=，AB===，
∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DC=DE，
∵Rt△BED∽Rt△BCA，
∴，
即?4x²=27+x²，
解得x=3或x=-3（不合題意舍去），
AD===，
∴AB==6，
顯然可知AB為Rt△ABC的外接圓的直徑，
∴Rt△ABC外接圓的面積=π•3²=9π，
Rt△ABC內(nèi)切圓的半徑===，
Rt△ABC內(nèi)切圓的面積==（9-）π．
答：平分線AD的長為，AB的長為6，AC的長3，外接圓的面積為9π，內(nèi)切圓的面積是（9-）π．
點評：本題考查三角形內(nèi)切圓與內(nèi)心、勾股定理、角平分線的性質(zhì)、三角形外接圓與外心、相似三角形的性質(zhì)．解決本題的關(guān)鍵是首先設(shè)AC為x，通過作輔助線DE建立起邊間的關(guān)系，列出關(guān)系式4x²=27+x²，使問題得解．