Question

（2010•昌平區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（，1）關(guān)于x軸的對稱點為C，AC與x軸交于點B，將△OCB沿OC翻折后，點B落在點D處．
（1）求點C、D的坐標；
（2）求經(jīng)過O、D、B三點的拋物線的解析式；
（3）若拋物線的對稱軸與OC交于點E，點P為線段OC上一點，過點P作y軸的平行線，交拋物線于點Q．
①當四邊形EDQP為等腰梯形時，求出點P的坐標；
②當四邊形EDQP為平行四邊形時，直接寫出點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于A、C關(guān)于x軸對稱，則它們的橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)，由此可求得C點的坐標，進而可求得OB、BC的長以及∠BOC的度數(shù)，由于△OCD是由△OCB翻折所得，故∠COD=∠COB，OB=OD，如果過D分別作x軸、y軸的垂線，設垂足為M、N，即可求得∠NOD的度數(shù)，在Rt△OND中，通過解直角三角形，即可求得點D的坐標．
（2）已求得B、D的坐標，用待定系數(shù)法求解即可．
（3）根據(jù)（2）題所得拋物線的解析式可知點D即為拋物線的頂點，那么只需DE就是拋物線的對稱軸；在（1）題中求得∠OCB=∠OCD=60°，根據(jù)D點的坐標知∠DOC=∠ODM=30°，那么∠MDC=60°，即△CDE為等邊三角形，由此可求得DE=OE=CE=1；
①若四邊形EDQP是等腰梯形，那么點P在線段CE上，由于∠CDE=∠CED=60°，且P在CE上，若四邊形EDQP是等腰梯形，那么點Q必在線段CD上，即Q為直線CD與拋物線的交點，由此可求出點Q的坐標，將其橫坐標代入直線OC的解析式中，即可求得點P的坐標；
②若四邊形EDQP是平行四邊形，那么點P必在線段OE上，此時PQ=DE=1，而PQ為直線OC與拋物線函數(shù)值的差，由此可列出關(guān)于點P橫坐標的方程，進而可求得點P的坐標．
解答：解：（1）∵點A（，1）關(guān)于x軸的對稱點為C，AC與x軸交于點B，
∴AC⊥x軸于B，B（，0），C（，-1）．
∴BC=AB=1，OB=．
∴OC=2，∠1=30°，∠3=60°，
由題意知：∠2=∠1=30°，OD=OB=，
∴∠NOD=30°．
過點D作DM⊥x軸于M，DN⊥y軸于N，
在Rt△OND中，DN=OD=，ON=DN=．
由矩形ONDM得：OM=DN=．
∵點D在第四象限，
∴D（，-）．

（2）設經(jīng)過O、D、B三點的拋物線的解析式為：y=ax²+bx．
依題意，得：，
解得；
∴此拋物線的解析式為：y=2x²-2x．

（3）∵y=2x²-2x=2（x-）²-，
∴點D為拋物線的頂點．
∴直線DM為拋物線的對稱軸，交OC于E，由題意可知：∠4=∠3=60°，∠ODC=90°；
∴∠OEM=60°，
∴∠6=60°，
∴∠7=60°，
∴△EDC是等邊三角形，∠8=30°．
∴CE=DE=OE=OC=1．
①當點P₁在EC上時，四邊形EDQ₁P₁為等腰梯形．
∵DM∥y∥P₁Q₁，EP₁與DQ₁不平行，
∴四邊形EDQ₁P₁為梯形．
要使梯形EDQ₁P₁為等腰梯形，只需滿足∠EDQ₁=∠6=60°．
∵∠7=60°，
∴點Q₁在DC上．
由C（，-1）、D（，-）求得直線CD的解析式為y=x-2．
又∵點Q₁在拋物線上，
∴2x²-2x=x-2，
解得x₁=，x₂=（與點D重合，舍去）；
∴點P₁的橫坐標為．
由（0，0）、C（，-1）求得直線OC的解析式為y=-x．
∵點P₁在OC上，
∴y=-×=-，
即P₁（，-）．
②當點P₂在OE上時，四邊形EDQ₂P₂為平行四邊形，此時P₂點坐標為P₂（，-）．
綜上所述：當P₁（，-）時，EDQ₁P₁為等腰梯形；
當P₂（，-）時，EDQ₂P₂為平行四邊形．
點評：此題考查了關(guān)于x軸對稱的點的坐標特征、圖形的翻折變換、二次函數(shù)解析式的確定、等腰梯形及平行四邊形的判定等知識，綜合性強，難度偏大．