Question

如圖，△ABC的三邊滿足關(guān)系BC=

1

2

（AB+AC），O、I分別為△ABC的外心、內(nèi)心，∠BAC的外角平分線交⊙O于E，AI的延長線交⊙O于D，DE交BC于H，
求證：（1）AI=BD；
（2）OI=

1

2

AE．

Answer 1

分析：（1）作IG⊥AB于G點，連BI，BD，則AG=

1

2

（AB+AC-BC），而BC=

1

2

（AB+AC），可得到AG=

1

2

BC，根據(jù)題意得∠EAD=90°，得到ED為⊙O的直徑，ED垂直平分BC，因此AG=BH，從而得到Rt△AGI≌Rt△BHD，即有AI=BD；
（2）由∠BID=∠BAI+∠ABI，而∠BAI=∠DBC，∠ABI=∠CBI，即可得到∠DBI=∠BID，則ID=DB，得到AI=ID，由此得到OI為三角形AED的中位線，利用中位線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答：證明：（1）作IG⊥AB于G點，連BI，BD，如圖，
∴AG=

1

2

（AB+AC-BC），
而BC=

1

2

（AB+AC），
∴AG=

1

2

BC，
又∵AD平分∠BAC，AE平分∠BAC的外角，
∴∠EAD=90°，
∴O點在DE上，即ED為⊙O的直徑，
而BD弧=DC弧，
∴ED垂直平分BC，即BH=

1

2

BC，
∴AG=BH，
而∠BAD=∠DAC=∠DBC，
∴Rt△AGI≌Rt△BHD，
∴AI=BD；

（2）∵∠BID=∠BAI+∠ABI，
而∠BAI=∠DBC，∠ABI=∠CBI，
∴∠DBI=∠BID，
∴ID=DB，
而AI=BD，
∴AI=ID，
∴OI為三角形AED的中位線，
∴OI=

1

2

AE．

點評：本題考查了三角形內(nèi)心的性質(zhì)和圓周角定理及推論．也考查了等腰三角形的判定以及三角形中位線的性質(zhì)．