Question

如圖，正方形ABCD中，M為BC上一點(diǎn)，F(xiàn)是AM的中點(diǎn)，EF⊥AM，垂足為F，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交DC于點(diǎn)N．

（1）求證：△ABM∽△EFA；

（2）若AB=12，BM=5，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．

【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得出AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，得出∠AMB=∠EAF，再由∠B=∠AFE，即可得出結(jié)論；

（2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的長(zhǎng)．

【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，

∴∠AMB=∠EAF，

又∵EF⊥AM，

∴∠AFE=90°，

∴∠B=∠AFE，

∴△ABM∽△EFA；

（2）解：∵∠B=90°，AB=12，BM=5，

∴AM==13，AD=12，

∵F是AM的中點(diǎn)，

∴AF=AM=6.5，

∵△ABM∽△EFA，

∴，

即，

∴AE=16.9，

∴DE=AE﹣AD=4.9．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握正方形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．