Question

【題目】已知拋物線y＝ax2經(jīng)過點A(2，1)．

(1)求這個函數(shù)的解析式；

(2)畫出函數(shù)的圖像，寫出拋物線上點A關(guān)于y 軸的對稱點B 的坐標；

(3)拋物線上是否存在點C，使△ABC的面積等于△OAB面積的一半，若存在，求出C點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2；（2）B的坐標為（-2，1）；（3）C（，）或（，）或（，）或（，），使△ABC的面積等于△OAB面積的一半，見解析.

【解析】

（1）把點A的坐標代入拋物線解析式求解即可得到a的值，從而得解；

（2）根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點的坐標，橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標相同解答；

（3）根據(jù)三角形的面積公式求出點C到AB的距離，再分①點C在AB下面，②點C在AB的上面兩種情況求出點C的縱坐標，然后代入拋物線解析式求出橫坐標，即可得到點C的坐標．

解：（1））∵拋物線y=ax2經(jīng)過點A（2，1），
∴4a=1，解得a=，
∴這個函數(shù)的解析式為y=x2；

（2）∵點A（2，1），關(guān)于y軸對稱的點的坐標，橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標相同，

∴點A關(guān)于y軸的對稱點B的坐標為（-2，1）；

（3）如圖：

∵點A（2，1），B（-2，1），
∴AB=2-（-2）=2+2=4，S△OAB=×4×1=2，

假設(shè)存在點C，且點C到AB的距離為h，

則S△ABC=ABh=×4h，

∵△ABC的面積等于△OAB面積的一半，

∴×4h=×2，解得h=，

①當點C在AB下面時，點C的縱坐標為，

此時，解得，，

則此時C的坐標為（，）或（，），

②點C在AB的上面時，點C的縱坐標為，

此時，解得，，

則此時C的坐標為（，）或（，），

綜上，存在點C（，）或（，）或（，）或（，），使△ABC的面積等于△OAB面積的一半．