Question

求下列各式的值：
（1）a、b、c是△ABC的三邊，且滿足a²=（c+b）（c-b）和4c-5b=0，求cosA+cosB的值；
（2）已知A為銳角，且tanA=

3

，求sin²A+2sinAcosA+cos²A的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)勾股定理的逆定理，判定這個三角形是直角三角形．再根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念進行求解，也可以利用互為余角的三角函數(shù)關系式求解．
（2）根據(jù)tanA=

3

，求出∠A=60°，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值代入求值即可．

解答：解：（1）由a²=（c+b）（c-b）得c²=a²+b²，所以∠C=90°，
由4c-5b=0得

b

c

=

4

5

，
∴cosA=

b

c

=

4

5

，cosB=

a

c

=

3

5

，
∴cosA+cosB=

7

5

；

（2）∵tanA=

3

，∴∠A=60°，
∴原式=（

3

2

）²+2×

3

2

×

1

2

+（

1

2

）²=

3

2

+1．

點評：本題考查了勾股定理逆定理的運用，及利用銳角三角函數(shù)的定義，通過設參數(shù)的方法求三角函數(shù)值，同時要熟記特殊角的三角函數(shù)值．