Question

【題目】已知：正方形與正方形共頂點(diǎn).

（1）探究：如圖，點(diǎn)在正方形的邊上，點(diǎn)在正方形的邊上，連接.求證：；

（2）拓展：將如圖中正方形繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角，如圖所示，試探究線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

（3）運(yùn)用：正方形在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)，，三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，如圖所示，延長(zhǎng)交于點(diǎn).若，GH=2，求的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）線段與之間的數(shù)量關(guān)系為；理由見解析；（3）.

【解析】

（1）連接，由正方形性質(zhì)知∠CEG=∠B=90°、∠ECG=45°，據(jù)此可得、GE∥AB，利用平行線分線段成比例定理可得；

（2）連接，，只需證△ACG∽△BCE即可得；

（3）證△AHG∽△CHA得，設(shè)BC=CD=AD=a，知AC=a，由得AH=a、DH=a、CH=a，由可得a的值．

（1）連接

∵四邊形是正方形，∴，，

∵四邊形是正方形，∴，，

∴，，三點(diǎn)在一條直線上

∵， ∴

∴ ∴

（2）連接，，

∵ ∴，

在和中，

、，

∴， ∴， ∴，

∴線段與之間的數(shù)量關(guān)系為；

（3）由（2）可知

∵，點(diǎn)、、三點(diǎn)共線， ∴，

∵， ∴，

∴，

∵， ∴，

∴，

設(shè)，則，

則由得， ∴，

則，， ∴得，

解得：，即，