Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分別是AD、BC的中點，E、F分別是BM、CM的中點．
（1）在不添加線段的前提下，圖中有哪幾對全等三角形？請直接寫出結(jié)論；
（2）判斷并證明四邊形MENF是何種特殊的四邊形；
（3）當(dāng)?shù)妊�梯形ABCD的高h與底邊BC滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時，四邊形MENF是正方形？（直接寫出結(jié)論，不需要證明）．

Answer 1

分析：（1）∵點M是AD的中點，∴AM=MD，由等腰梯形的性質(zhì)知，AB=CD，∠A=∠D，∠ABC=∠DCB
∴△AMB≌△DMC；∴BM=CM，∠ABM=∠DCM，∴∠ABC-∠ABM=∠DCB-∠DCM即∠EBN=∠FCN，
∵點N是BC的中點，E、F分別是BM、CM的中點，∴BN=NC，∴EN，NF是△BMC的中位線，有EN∥CM，NF∥BM，EN=NF=

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BM，∴△BEN≌△CFN．
（2）根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．先證四邊形MENF是平行四邊形，再證EN=NF，即證平行四邊形MENF是菱形．
（3）由于等腰梯形是軸對稱圖形，對稱軸是MN所在的直線，線段MN是等腰梯形的高，由于正方形的對角線相等，∴當(dāng)EF=MN時，即MN=

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BC，菱形MENF是正方形．

解答：解：
（1）△AMB≌△DMC；△BEN≌△CFN．（2分）

（2）判斷四邊形MENF為菱形；（3分）
證明：∵ABCD為等腰梯形，
∴AB=CD，∠A=∠D，
又∵M為AD的中點，
∴MA=MD．
∴△AMB≌△DMC，
∴BM=CM；（4分）
又∵E、F、N分別為BM、CM、BC中點，
∴MF=NE=

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MC，ME=NF=

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BM，（或MF∥NE，ME∥NF；）（5分）
∴EM=NF=MF=NE；
∴四邊形MENF為菱形．（6分）
（說明：第（2）問判斷四邊形MENF僅為平行四邊形，并正確證明的只給（3分）．）

（3）當(dāng)h=

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BC（或BC=2h或BC=2MN）時，MENF為正方形．（8分）

點評：本題利用了：
1、等腰梯形的性質(zhì)：底角相等，兩腰相等；
2、全等三角形的判定和性質(zhì)；
3、三角形中位線的性質(zhì)；
4、一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；
5、對角線相等的菱形是正方形．