Question

【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程

求證：無(wú)論m取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

若a和b是這個(gè)一元二次方程的兩個(gè)根，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）3.

【解析】

（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，可得出△=m2+4＞0，從而證出無(wú)論m取何值，原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）由根與系數(shù)的關(guān)系可得出a+b=﹣[﹣（m+2）]，ab=m，結(jié)合a2+b2=（a+b）2﹣2ab解答．

（1）在關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m=0中a=1，b=﹣（m+2），c=m，

所以△=m2+4m+4﹣4m=m2+4，

無(wú)論m取何值，m2+4＞0，

所以，無(wú)論m取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）因?yàn)?/span>a和b是這個(gè)一元二次方程的兩個(gè)根，

所以a+b=﹣[﹣（m+2）]=m+2，ab=m，

所以a2+b2=（a+b）2﹣2ab=（m+2）2﹣2m=m2+2m+4=（m+1）2+3．

無(wú)論m為何值，（m+1）2≥0，所以a2+b2的最小值為3．