Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AE平分∠BAC交⊙O于點E，交BC于點D，過點E做直線l∥BC．

（1）判斷直線l與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若∠ABC的平分線BF交AD于點F，求證：BE=EF；
（3）在（2）的條件下，若DE=4，DF=3，求AF的長．

Answer 1

【答案】
（1）

直線l與⊙O相切．

理由：如圖1所示：連接OE、OB、OC．

∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE=∠CAE．

∴ ．

∴∠BOE=∠COE．

又∵OB=OC，

∴OE⊥BC．

∵l∥BC，

∴OE⊥l．

∴直線l與⊙O相切

（2）

解：∵BF平分∠ABC，

∴∠ABF=∠CBF．

又∵∠CBE=∠CAE=∠BAE，

∴∠CBE+∠CBF=∠BAE+∠ABF．

又∵∠EFB=∠BAE+∠ABF，

∴∠EBF=∠EFB．

∴BE=EF．

（3）

由（2）得BE=EF=DE+DF=7．

∵∠DBE=∠BAE，∠DEB=∠BEA，

∴△BED∽△AEB．

∴ ，即 ，解得；AE= ．

∴AF=AE﹣EF= ﹣7=

【解析】（1）連接OE、OB、OC．由題意可證明 ，于是得到∠BOE=∠COE，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可證明OE⊥BC，于是可證明OE⊥l，故此可證明直線l與⊙O相切；（2）先由角平分線的定義可知∠ABF=∠CBF，然后再證明∠CBE=∠BAF，于是可得到∠EBF=∠EFB，最后依據(jù)等角對等邊證明BE=EF即可；（3）先求得BE的長，然后證明△BED∽△AEB，由相似三角形的性質(zhì)可求得AE的長，于是可得到AF的長．本題主要考查的是圓的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、切線的判定，證得∠EBF=∠EFB是解題的關(guān)鍵．