Question

（2013•湖州一模）如圖，在⊙O中，AB是直徑，AD是弦，∠ADE=60°，∠C=30°．
（1）判斷直線CD是否為⊙O的切線，請說明理由；
（2）若CD=3，求BC的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)切線的判定定理，連接OD，只需證明OD⊥CD，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得∠A=30°，再根據(jù)等邊對等角得∠ADO=∠A，從而證明結(jié)論；
（2）在30°的直角三角形OCD中，求得OD，OC的長，則BC=OC-OB．

解答：解：（1）CD是⊙O的切線，理由如下：
連接OD，∵∠ADE=∠A+∠C，∠C=30°，∠ADE=60°，
∴∠A=30°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA=30°，
又∵∠ADE=60°，
∴∠ODE=∠ODA+∠ADE=90°，
∴DC是⊙O的切線；
（2）在Rt△ODC中，∠ODC=90°，∠C=30°，CD=3，
∵tanC=

OD

CD

，
∴OD=CD•tanC=3×

3

3

=

3

，
∴OC=2OD=2

3

，
∵OB=OD=3
∴BC=OC-OB=2

3

-3．

點評：此題主要考查圓的切線的性質(zhì)定理的證明、切線的判定及解直角三角形的綜合運用．屬于基礎(chǔ)題．