Question

如圖，AB是⊙O的直徑，P為AB延長線上一點，PD切⊙O于點C，BC和AD的延長線相交于點E，且AD⊥PD．
（1）求證：AB=AE；
（2）當(dāng)AB：BP為何值時，△ABE為等邊三角形并說明理由．

Answer 1

分析：（1）本題可連接OC，通過證明OC是三角形ABE的中位線，得出OC是AE的一半，根據(jù)AB是直徑，OC是半徑，那么AB=2OC，從而得出AE=AB；
（2）要使三角形ABE是等邊三角形，就必須有一個角是60°，那么可得出∠OCB=60°，∠P=30°，因此OP=2OC，那么O、B就是AP的三等分點，AB：PB=2：1．

解答：（1）證明：連接OC，
∵PD切⊙O于點C，
∴OC⊥PD；
又∵AD⊥PD，
∴OC∥AD；
∵O是AB的中點，
∴OC=

1

2

AE，而OC=

1

2

AB，
∴AB=AE．

（2）解：當(dāng)AB：BP=2：1時，△ABE是等邊三角形．
理由如下：
由（1），知△ABE是等腰三角形，要使△ABE成為等邊三角形，
只需∠ABE=60°（或∠EAB=60°），從而∠OCB=60°，∠BCP=∠P=30°，
故PB=BC=

1

2

AB，即當(dāng)AB：BP=2：1時，△ABE是等邊三角形．

點評：本題綜合考查了切線的性質(zhì)和三角形中位線的性質(zhì)以及等邊三角形的判定等知識點．