Question

【題目】如圖，拋物線y1＝ax2+bx+與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0），點(diǎn)B，點(diǎn)D是拋物線y1的頂點(diǎn)，過點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)C（﹣1，0）．

（1）求拋物線y1所對應(yīng)的函數(shù)解析式；

（2）如圖1，點(diǎn)M在拋物線y1上，橫坐標(biāo)為m，連接MC，若∠MCB＝∠DAC，求m的值；

（3）如圖2，將拋物線y1平移后得到頂點(diǎn)為B的拋物線y2．點(diǎn)P為拋物線y1上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線，交拋物線y2于點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作x軸的平行線，交拋物線y2于點(diǎn)R．當(dāng)以點(diǎn)P，Q，R為頂點(diǎn)的三角形與△ACD全等時(shí)，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）m的值為或﹣2+；（3）P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）或P（2，﹣）．

【解析】

(1)根據(jù)A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)用待定系數(shù)法求出解析式；

(2)如圖，當(dāng)M點(diǎn)在x軸上方時(shí)，若∠M1CB＝∠DAC，則DA∥CM1，先求直線AD的解析式，由點(diǎn)C的坐標(biāo)可求出直線CM1的解析式，聯(lián)立直線和拋物線方程可求出點(diǎn)M1的坐標(biāo)，當(dāng)點(diǎn)M在x軸下方時(shí)，由軸對稱的性質(zhì)可求出直線CM2的解析式，同理聯(lián)立直線和拋物線方程則求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)先求出y2的解析式，可設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，表示Q、R坐標(biāo)及PQ、QR，根據(jù)以P，Q，R為頂點(diǎn)的三角形與△ACD全等，分類討論對應(yīng)邊相等的可能性即可求P點(diǎn)坐標(biāo)．

(1)由題意得：，解得，

拋物線y1所對應(yīng)的函數(shù)解析式為；

(2)當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝=1，

∴D(﹣1，1)，

設(shè)直線AD的解析式為y＝kx+n，

∴，解得：，

∴直線AD的解析式為y＝x+，

如圖，①當(dāng)M點(diǎn)在x軸上方時(shí)，

∵∠M1CB＝∠DAC，

∴DA∥CM1，

設(shè)直線CM1的解析式為y＝x+b1，

∵直線經(jīng)過點(diǎn)C，

∴-+b1=0，解得：b1=，

∴直線CM1的解析式為y＝x+，

∴ ，

解得：x=-2+，x=-2-(舍去)，

∴m＝﹣2+，

②當(dāng)點(diǎn)M在x軸下方時(shí)，直線CM2與直線CM1關(guān)于x軸對稱，

由軸對稱的性質(zhì)可得直線CM2的解析式為y＝-x-，

∴，解得：x=或x＝﹣(舍去)，

∴m=，

綜合以上可得m的值為或﹣2+；

(3)∵拋物線y1平移后得到y2，且頂點(diǎn)為B(1，0)，

∴，

即y2=，

設(shè)P(m，)，則Q(m，)，

∴R(2﹣m，)，

①當(dāng)P在Q點(diǎn)上方時(shí)，

PQ＝1﹣m，QR＝2﹣2m，

∵△PQR與△ACD全等，

∴當(dāng)PQ＝DC且QR＝AC時(shí)，m＝0，

∴P(0，)，R(2，﹣)，

當(dāng)PQ＝AC且QR＝DC時(shí)，無解；

②當(dāng)點(diǎn)P在Q點(diǎn)下方時(shí)，

同理：PQ＝m﹣1，QR＝2m﹣2，

m﹣1＝1，

∴m＝2，

則P(2，)，R(0，﹣)，

綜合可得P點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)或P(2，)．