Question

如圖，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、D在拋物線y=-

2

3

x2+

8

3

x上，B、C在x軸的正半軸上，且矩形始終在拋物線與x軸圍成的區(qū)域里．
（1）設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x，試求矩形的周長P關(guān)于變量x的函數(shù)表達(dá)式；
（2）當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，相應(yīng)矩形的周長最大？最大周長是多少？
（3）在上述這些矩形中是否存在這樣一個(gè)矩形，它的周長為7？若存在，求出該矩形的各頂點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)矩形和拋物線的對稱性可知：BC=AD=OE-2x，因此求矩形的周長，就必須先求出E點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)已知拋物線的解析式，易求得E點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得到BC的表達(dá)式，利用矩形的周長公式即可得到關(guān)于P、x的函數(shù)關(guān)系式．
（2）將（1）題所得函數(shù)關(guān)系式化為頂點(diǎn)坐標(biāo)式，進(jìn)而可求得P的最大值及對應(yīng)的x的值．
（3）將P=7代入（1）題的函數(shù)關(guān)系式中，即可求得對應(yīng)的x的值，進(jìn)而可根據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)和矩形各邊長的表達(dá)式求出各頂點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）令y=0，得-

2

3

x2+

8

3

x=0，
解得x₁=0，x₂=4，
∴E（4，0）；（2分）
∴P=2[-

2

3

x2+

8

3

x+(4-2x)]=-

4

3

x2+

4

3

x+8，（2分）
即P=-

4

3

x2+

4

3

x+8．

（2）∵P=-

4

3

x2+

4

3

x+8=-

4

3

(x-

1

2

)2+

25

3

（2分）
∴當(dāng)x=

1

2

時(shí)，P的最大值為

25

3

；（2分）
故當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到（

1

2

，

7

6

）時(shí)，矩形的周長最大，且最大值為

25

3

．

（3）存在；（1分）
當(dāng)P=7時(shí)，得-

4

3

x2+

4

3

x+8=7
即4x²-4x-3=0，
解得x1=-

1

2

，x2=

3

2

；（1分）
∵0＜x＜2，
∴x=

3

2

；
當(dāng)x=

3

2

時(shí)，y=

5

2

，
∴B(

3

2

，0)，C(

5

2

，0)，D(

5

2

，

5

2

)．（2分）

點(diǎn)評：此題主要考查了矩形、拋物線的性質(zhì)，二次函數(shù)解析式的確定，二次函數(shù)最值的應(yīng)用等知識(shí)，難度適中．