Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=1，點(diǎn)D，E在直線(xiàn)BC上運(yùn)動(dòng)．設(shè)BD=x，CE=y．
（1）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，試確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）如果∠BAC=α，∠DAE=β，當(dāng)α，β滿(mǎn)足怎樣的關(guān)系時(shí)，（1）中y與x之間的函數(shù)關(guān)系式還成立？試說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用等腰三角形的性質(zhì)得∠ABD=∠ACE=105°，利用等量代換求得∠CAE=∠ADB，故△ADB∽△EAC后，得

AB

EC

=

BD

AC

，即

1

y

=

x

1

所以y=

1

x

；
（2）要使y=

1

x

，即

AB

EC

=

BD

AC

成立，則要△ADB∽△EAC．由于∠ABD=∠ECA，故只須∠ADB=∠EAC，利用三角形的內(nèi)角和和鄰補(bǔ)角的概念求得∠EAC+∠BAD=β-α，∠ADB+∠BAD=∠ABC=90°-

α

2

，所以只90°-

α

2

=β-α，須即β-

α

2

=90°．

解答：解：（1）在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=30°，
∴∠ABC=∠ACB=75°，
∴∠ABD=∠ACE=105°，
∵∠DAE=105°，
∴∠DAB+∠CAE=75°，
又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°，
∴∠CAE=∠ADB，
∴△ADB∽△EAC，
∴

AB

EC

=

BD

AC

即

1

y

=

x

1

，所以y=

1

x

；

（2）當(dāng)α、β滿(mǎn)足關(guān)系式β-

α

2

=90°時(shí)，函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=

1

x

成立，
理由如下：∵β-

α

2

=90°，
∴β-α=90°-

α

2

．
又∵∠EAC=∠DAE-∠BAC-∠DAB=β-α-∠DAB，
∠ADB=∠ABC-∠DAB=90°-

α

2

-∠DAB，
∴∠ADB=∠EAC；
又∵∠ABD=∠ECA，
∴△ADB∽△EAC，
∴

AB

EC

=

BD

AC

，
∴

1

y

=

x

1

，
∴y=

1

x

．

點(diǎn)評(píng)：本題利用了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，鄰補(bǔ)角的概念，相似三角形的判定和性質(zhì)求解．