Question

【題目】x1、x2、x3、…x20是20個(gè)由1，0，﹣1組成的數(shù)，且滿足：①x1+x2+x3+…+x20＝4，②（x1﹣1）2+（x2﹣1）2+（x3﹣1）2…+（x20﹣1）2＝32，則這列數(shù)中1的個(gè)數(shù)為_____個(gè)．

Answer 1

【答案】12.

【解析】

將②按完全平方公式展開去括號(hào)，再將①式整體代入即可得出+++…+=20，x1、x2、x3、…x20只能是是20個(gè)由1或-1組成的數(shù)，設(shè)其中有m個(gè)1，n個(gè)-1.根據(jù)題意列出方程組m+n=20,m-n=4，求解得出m,n的值.

解：∵x1、x2、x3、…x20是20個(gè)由1，0，1組成的數(shù)，且滿足下列兩個(gè)等式：①x1+x2+x3+…+x20=4，②(x11)2+(x21)2+(x31)2+…+(x201)2=32，

把②展開得：+++…+-2(x1+x2+x3+…+x20)+20=32

∴+++…+=20，

∴x1、x2、x3、…x20只能是是20個(gè)由1或-1組成的數(shù)，

設(shè)其中有m個(gè)1，n個(gè)-1，

∴

解得：，

∴﹣1的個(gè)數(shù)有8個(gè)，

則1的個(gè)數(shù)有12個(gè)．

故答案為：12．