Question

【題目】問題情境：

數(shù)學(xué)活動課上，老師讓同學(xué)們以“三角形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展數(shù)學(xué)活動，△ABC和△DEC是兩個全等的直角三角形紙片，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝∠E＝30°，AB＝DE＝4．

解決問題：

（1）如圖1，智慧小組將△DEC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)D恰好落在AB邊上時，DE∥AC，請你幫他們證明這個結(jié)論；

（2）縝密小組在智慧小組的基礎(chǔ)上繼續(xù)探究，當(dāng)△DEC繞點(diǎn)C繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置時，連接AE、AD、BD，他們提出S△BDC＝S△AEC，請你幫他們驗(yàn)證這一結(jié)論是否正確，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）正確，理由見解析

【解析】

（1）如圖1中，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC＝CD，然后求出△ACD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠ACD＝60°，然后根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行進(jìn)行解答；

（2）如圖2中，作DM⊥BC于M，AN⊥EC交EC的延長線于N．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BC＝CE，AC＝CD，再求出∠ACN＝∠DCM，然后利用“角角邊”證明△ACN和△DCM全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AN＝DM，然后利用等底等高的三角形的面積相等證明．

解：（1）如圖1中，∵△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)點(diǎn)D恰好落在AB邊上，

∴AC＝CD，

∵∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，

∴△ACD是等邊三角形，

∴∠ACD＝60°，

又∵∠CDE＝∠BAC＝60°，

∴∠ACD＝∠CDE，

∴DE∥AC；

（2）結(jié)論正確，

理由如下：如圖2中，作DM⊥BC于M，AN⊥EC交EC的延長線于N．

∵△DEC是由△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到，

∴BC＝CE，AC＝CD，

∵∠ACN＋∠BCN＝90°，∠DCM＋∠BCN＝180°﹣90°＝90°，

∴∠ACN＝∠DCM，

在△ACN和△DCM中，

，

∴△ACN≌△DCM（AAS），

∴AN＝DM，

∴△BDC的面積和△AEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），

即S△BDC＝S△AEC．