Question

【題目】如圖1，∠AOB=30°，點(diǎn)M為射線OB上一點(diǎn)，平面內(nèi)有一點(diǎn)P使∠PAM=150°且PA=AM.

（1）求證：∠OMA=∠OAP.

（2）如圖2，若射線OB上有一點(diǎn)Q使∠POA=∠AQO，求證：OP=AQ.

（3）如圖3，在（2）的條件下，過A作AH⊥OB，且OH=AH，已知N點(diǎn)為MQ的中點(diǎn)，且ON=,則OA=____________.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）2

【解析】

（1）利用三角形的內(nèi)角和定理可得∠OAM+∠OMA=150°，再由條件∠OAP+∠OAM=150°，即可得出結(jié)論；

（2）在OB上取一點(diǎn)M使AM=AN，然后證明△OAP≌QNA即可得出結(jié)論；

（3）在OB上取一點(diǎn)C使AM =AC，設(shè)AH=x，MH=CH=y，然后用含x、y的式子表示出ON，再利用ON=建立方程求出x，即可得出答案．

（1）證明：∵∠AOB=30°，

∴∠OAM+∠OMA=150°，

∵∠PAM=∠OAP+∠OAM=150°，

∴∠OAP=∠OMA；

（2）證明：在OB上取一點(diǎn)M使AM=AN，

∴∠AMN=∠ANM，

∵∠AMO+∠AMN=180°，∠ANM+∠ANQ=180°，

∠AMO=∠ANQ，

∵∠AMO=∠OAP，

∴∠OAP=∠ANQ，

在△OAP和△QNA中

∴△OAP≌QNA（AAS），

∴OP=AQ；

（3）在OB上取一點(diǎn)C使AM =AC，

由（2）知△OAP≌△ACQ，

∴OA=CQ，

設(shè)AH=x，則OA=CQ =2x，OH=x．

設(shè)MH=CH=y，

∴MQ=MC+CQ=2x+2y，

∵N是MQ中點(diǎn)，

∴MN=x+y，

∵OM=OH-MH=x-y，

∴ON=OM+MN=x+y+x-y=1+，

解得x=1，

∴OA=2x=2．