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        1. 【題目】如圖,在矩形ABCD中,AD=4,M是AD的中點,點E是線段AB上一動點,連接EM并延長交線段CD的延長線于點F.

          (1)如圖1,求證:AE=DF;

          (2)如圖2,若AB=2,過點M作 MG⊥EF交線段BC于點G,求證:△GEF是等腰直角三角形

          (3)如圖3,若AB=,過點M作 MG⊥EF交線段BC的延長線于點G.

          ①直接寫出線段AE長度的取值范圍;

          判斷GEF的形狀,并說明理由.

          【答案】(1)由AEM≌△DFM可證得(2)關(guān)鍵是證GE=GF,再證有個角是直角。

          (3)<AE ②△GEF是等邊三角形

          【解析】

          試題分析:解:(1)證明:如圖1,在矩形ABCD中,EAM=FDM=90°,AME=FMD.

          M是AD的中點,AM=DM,

          ∴△AEM≌△DFM(ASA).

          AE=DF. 2分

          (2)證明:如圖2,過點G作GHAD于H,

          ∴∠A=B=AHG=90°,

          四邊ABGH為矩形,

          ∴∠AME+AEM=90°,

          MGEF,

          ∴∠GME=90°

          ∴∠AME+GMH=90°

          ∴∠AEM=GMH.

          AD=4,M是AD的中點

          AM=2

          四邊ABGH為矩形,

          AB=HG=2

          AM=HG

          ∴△AEM≌△HMG(AAS).

          ME=MG.

          ∴∠EGM=45°

          由(1)得AEM≌△DFM,

          ME=MF.

          MGEF,

          GE=GF.

          ∴∠EGF=2EGM=90°

          ∴△GEF是等腰直角三角形. 5分

          (3 )當(dāng)C、G重合時,如圖4,

          四邊形ABCD是矩形,

          ∴∠A=ADC=90°,

          ∴∠AME+AEM=90°

          MGEF,

          ∴∠EMG=90°

          ∴∠AME+DMC=90°,

          ∴∠AEM=DMC,

          ∴△AEM∽△DMC

          ,

          ,

          AE=

          當(dāng)E、B重合時,AE最長為

          <AE. 7分(注:此小問只需直接寫出結(jié)果即可)

          如圖3,GEF是等邊三角形.

          證明:過點G作GHAD交AD延長線于點H,

          ∵∠A=B=AHG=90°,

          四邊形ABGH是矩形.

          GH=AB=2

          MGEF,

          ∴∠GME=90°

          ∴∠AME+GMH=90°

          ∵∠AME+AEM=90°,

          ∴∠AEM=GMH.

          ∵∠A=GHM=90°

          ∴△AEM∽△HMG.

          在RtGME中,

          tanMEG==

          ∴∠MEG=60°

           由(1)得AEM≌△DFM.

          ME=MF.

          MGEF, GE=GF.

          ∴△GEF是等邊三角形. 9分

          練習(xí)冊系列答案
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          【題目】如圖,正方形ABCD中,點PAD上的一動點(與點D、點A不重合),DECP,垂足為E,EFBEDC交于點F

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          (2)當(dāng)點P運動到DA的中點時,求證:點FDC的中點.

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          (1)求證:DP=DQ
          (2)如圖②,小聰在圖①的基礎(chǔ)上作∠PDQ的平分線DE交BC于點E,連接PE,他發(fā)現(xiàn)PE和QE存在一定的數(shù)量關(guān)系,請猜測他的結(jié)論并予以證明;

          (3)如圖③,固定三角板直角頂點在D點不動,轉(zhuǎn)動三角板,使三角板的一邊交AB的延長線于點P,另一邊交BC的延長線于點Q,仍作∠PDQ的平分線DE交BC延長線于點E,連接PE,若AB:AP=3:4,請幫小聰算出△DEP的面積.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

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          A.3
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          C.4
          D.6

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】閱讀理解
          材料一:一組對邊平行,另一組對邊不平行的四邊形叫梯形,其中平行的兩邊叫梯形的底邊,不平行的兩邊叫梯形的腰,連接梯形兩腰中點的線段叫梯形的中位線.梯形的中位線具有以下性質(zhì):
          梯形的中位線平行于兩底,并且等于兩底和的一半.
          如圖(1):在梯形ABCD中:AD∥BC
          ∵E、F是AB、CD的中點
          ∴EF∥AD∥BC
          EF=(AD+BC)
          材料二:經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊
          如圖(2):在△ABC中:
          ∵E是AB的中點,EF∥BC
          ∴F是AC的中點
          如圖(3)在梯形ABCD中,AD∥BC,AC⊥BD于O,E、F分別為AB、CD的中點,∠DBC=30°

          請你運用所學(xué)知識,結(jié)合上述材料,解答下列問題.
          (1)求證:EF=AC;
          (2)若OD=,OC=5,求MN的長.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】已知點P(x0 , y0)和直線y=kx+b,則點P到直線y=kx+b的距離證明可用公式d= 計算.
          例如:求點P(﹣1,2)到直線y=3x+7的距離.
          解:因為直線y=3x+7,其中k=3,b=7.
          所以點P(﹣1,2)到直線y=3x+7的距離為:d= = = =
          根據(jù)以上材料,解答下列問題:
          (1)求點P(1,﹣1)到直線y=x﹣1的距離;
          (2)已知⊙Q的圓心Q坐標(biāo)為(0,5),半徑r為2,判斷⊙Q與直線y= x+9的位置關(guān)系并說明理由;
          (3)已知直線y=﹣2x+4與y=﹣2x﹣6平行,求這兩條直線之間的距離.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】定義:有三個內(nèi)角相等的四邊形叫三等角四邊形.

          (1)三等角四邊形ABCD中,∠A=∠B=∠C,求∠A的取值范圍;
          (2)如圖,折疊平行四邊形紙片DEBF,使頂點E,F(xiàn)分別落在邊BE,BF上的點A,C處,折痕分別為DG,DH.求證:四邊形ABCD是三等角四邊形.
          (3)三等角四邊形ABCD中,∠A=∠B=∠C,若CB=CD=4,則當(dāng)AD的長為何值時,AB的長最大,其最大值是多少?并求此時對角線AC的長.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

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          A. 平行四邊形B. 矩形C. 菱形D. 等腰梯形

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          同步練習(xí)冊答案