Question

如圖，矩形OABC的邊OC，OA分別與x軸，y軸重合，點B的坐標是（

3

，1），點D是AB邊上一個動點（與點A不重合），沿OD將△OAD翻折，點A落在點P處．
（1）若點P在一次函數(shù)y=2x-1的圖象上，求點P的坐標；
（2）若點P在拋物線y=ax²圖象上，并滿足△PCB是等腰三角形，求該拋物線解析式；
（3）當線段OD與PC所在直線垂直時，在PC所在直線上作出一點M，使DM+BM最小，并求出這個最小值．

Answer 1

（1）∵B（

3

，1）
∴BC=OA=OP=1，OC=

3

．
∵點P在一次函數(shù)y=2x-1的圖象上
∴設(shè)P（x，2x-1）
如圖，過P作PH⊥x軸于H
在Rt△OPH中，PH=2x-1，OH=x，OP=1
∴x²+（2x-1）²=1
解得：x₁=

4

5

，x₂=0（不合題意，舍去）
∴P（

4

5

，

3

5

）（2分）

（2）連接PB，PC
①若PB=PC，則P在BC中垂線y=

1

2

上
∴設(shè)P（x，

1

2

），如圖，過P作PH⊥x軸于H
在Rt△OPH中，PH=

1

2

，OH=x，OP=1
∴x²+

1

4

=1
解得：x₁=

3

2

，x₂=-

3

2

（不合題意，舍去）
∴P（

3

2

，

1

2

）
∴

1

2

=a×

3

4

，
得a=

2

3

∴y=

2

3

x²（2分）
②若BP=BC，則BP=1，連接OB
∵OP=1
∴OP+PB=2
∵在Rt△OBC中，∠OCB=90°，OB=

3+1

=2
∴OP+PB=OB
∴O，P，B三點共線，P為線段OB中點．
又∵B（

3

，1）
∴P（

3

2

，

1

2

）
∴

1

2

=a×

3

4

，
解得：a=

2

3

∴y=

2

3

x²
③若CP=CB，則CP=1
∵OP=1
∴PO=PC，則P在OC中垂線x=

3

2

上
∴設(shè)P（

3

2

，y）．
過P作PH⊥x軸于H，在Rt△OPH中，PH=|y|，OH=

3

2

，OP=1
∴y²+

3

4

=1
解得：y₁=

1

2

，y₂=-

1

2

∴P（

3

2

，

1

2

）或（

3

2

，-

1

2

）
當點P（

3

2

，-

1

2

）時，∠AOP=120°，此時∠AOD=60°，點D與點B重合，符合題意．
若點P（

3

2

，

1

2

），則

1

2

=a×

3

4

，解得：a=

2

3

．∴y=

2

3

x²
若點P（

3

2

，-

1

2

），則-

1

2

=a×

3

4

，解得：a=-

2

3

∴y=-

2

3

x²（2分）

（3）如圖，∵△OAD沿OD翻折，點A落在點P處
∴OD垂直平分AP
∵PC⊥OD
∴A，P，C三點共線．
在Rt△AOD中，∠OAD=90°，OA=1
又可得：∠AOD=30°
∴AD=AO•tan30°=

3

3

，
∴D（

3

3

，1）
作點B關(guān)于直線AC的對稱點B′，過點B′作B′N⊥AB于點N，連接DB′，DB′與AC交點為M，此點為所求點．
∵∠ACB′=∠ACB=60°，∠ACO=30°
∴∠B′CO=30°
∵B′C=BC=1
∴B′（

3

2

，-

1

2

），
∴N（

3

2

，1）
在Rt△B′ND中，∠B′ND=90°，B′N=

3

2

，DN=AN-AD=

3

2

-

3

3

=

3

6

∴DB′=

DN2+B′N2

=

21

3

∴DM+BM的最小值為

21

3

．（2分）