Question

【題目】如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（4，0）是拋物線(xiàn)y=ax2+2x﹣c上的一點(diǎn)，將此拋物線(xiàn)向下平移6個(gè)單位后經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（0，2），平移后所得的新拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)記為C，新拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與線(xiàn)段AB的交點(diǎn)記為P．

（1）求平移后所得到的新拋物線(xiàn)的表達(dá)式，并寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求∠CAB的正切值；
（3）如果點(diǎn)Q是新拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn)，且△BCQ與△ACP相似，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：點(diǎn)B（0，2）向上平移6個(gè)單位得到點(diǎn)B'（0，8），

將A（4，0），B'（0，8）分別代入y=ax2+2x﹣c，得

，

解得 ，

∴原拋物線(xiàn)為y=﹣x2+2x+8，向下平移6個(gè)單位后所得的新拋物線(xiàn)為y=﹣x2+2x+2，

∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，3）

（2）

解：如圖2，由A（4，0），B（0，2），C（1，3），得

AB2=20，AC2=18，BC2=2，

∴AB2=AC2+BC2，

∴∠ACB=90°，

∴tan∠CAB= = = ；

（3）

解：如圖3，設(shè)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸x=1與x軸交于點(diǎn)H，

由 = = ，得PH= AH= ，

∴P（1， ），

由HA=HC=3，得∠HCA=45°，

∴當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)C下方時(shí)，∠BCQ=∠ACP，

因此△BCQ與△ACP相似分兩種情況：

①如圖3，當(dāng) = 時(shí)， = ，

解得CQ=4，

此時(shí)Q（1，﹣1）；

②如圖4，當(dāng) = 時(shí)， = ，

解得CQ= ，

此時(shí)Q（1， ）．

【解析】（1）先根據(jù)點(diǎn)B（0，2）向上平移6個(gè)單位得到點(diǎn)B'（0，8），將A（4，0），B'（0，8）分別代入y=ax2+2x﹣c，得原拋物線(xiàn)為y=﹣x2+2x+8，向下平移6個(gè)單位后所得的新拋物線(xiàn)為y=﹣x2+2x+2，據(jù)此求得頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）根據(jù)A（4，0），B（0，2），C（1，3），得到AB2=20，AC2=18，BC2=2，進(jìn)而得出AB2=AC2+BC2 ， 根據(jù)∠ACB=90°，求得tan∠CAB的值即可；（3）先設(shè)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸x=1與x軸交于點(diǎn)H，根據(jù) = = ，求得PH= AH= ，進(jìn)而得到P（1， ），再由HA=HC=3，得∠HCA=45°，根據(jù)當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)C下方時(shí)，∠BCQ=∠ACP，因此△BCQ與△ACP相似分兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】利用二次函數(shù)的概念和二次函數(shù)的圖象對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c為常數(shù))，則稱(chēng)y為x的二次函數(shù)；二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱(chēng)軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)．