Question

【題目】如圖，拋物線經(jīng)過(guò)三點(diǎn)

（1）求拋物線的解析式；

（2）在直線上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)，使的面積等于的面積的一半？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；

（3）點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)，使以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在這樣的點(diǎn)P，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；（3）存在這樣的點(diǎn)，坐標(biāo)為．

【解析】

（1）先根據(jù)點(diǎn)A、B坐標(biāo)設(shè)拋物線的交點(diǎn)式，再將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入求解即可；

（2）先根據(jù)三點(diǎn)的坐標(biāo)求出的面積，再根據(jù)拋物線的解析式設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后根據(jù)建立等式，求解即可得；

（3）根據(jù)平行四邊形的定義分和兩種情況求解即可．

（1）由可設(shè)拋物線的解析式為

將點(diǎn)代入得，解得

則拋物線的解析式為

故拋物線的解析式為；

（2）存在，求解過(guò)程如下：

由可得

，是等腰直角三角形，即

如圖，過(guò)點(diǎn)P作，交AC于點(diǎn)E，則是等腰直角三角形

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，由題意得

則

則，解得或

當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

綜上，存在這樣的點(diǎn)P，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；

（3）存在，求解過(guò)程如下：

由平行四邊形的定義分以下2種情況：

①當(dāng)時(shí)，顯然點(diǎn)與的縱坐標(biāo)相等

則點(diǎn)與關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱

，，即，

②當(dāng)時(shí)，顯然點(diǎn)到軸的距離等于點(diǎn)C到軸的距離，即等于3

設(shè)

當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為

當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為

綜上，存在這樣的點(diǎn)，坐標(biāo)為．