Question

已知：AC是⊙O的直徑，點(diǎn)A、B、C、O在⊙O₁上，OA=2．建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．∠ACO=∠ACB=60度．
（1）求點(diǎn)B關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過三點(diǎn)A、B、O的二次函數(shù)的解析式；
（3）該拋物線上是否存在點(diǎn)P，使四邊形PABO為梯形？若存在，請求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圓的圓周角的性質(zhì)可求得△AOB是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的特點(diǎn)求得點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）可設(shè)得二次函數(shù)的一般式，將點(diǎn)A、O、B的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，解方程組即可求得函數(shù)的解析式；
（3）∵△BOA是等邊三角形，點(diǎn)D是點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)
∴OA、BD相互垂直平分∴四邊形DABO是菱形
∴AD∥BO∴所求點(diǎn)P必在直線AD上
設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b（k≠O），利用待定系數(shù)法求解即可．

解答：解：（1）如圖：∵點(diǎn)A、B、C、D在⊙O上，且∠ACO=∠ACB=60°，
∴∠BOA=∠ABO=60°，
∴△ABO是等邊三角形，
∵OA=2，
過點(diǎn)B作BD⊥OA于點(diǎn)D，
∴OD=

1

2

OA-1，BD=OB•sin60°=

3

，
∴B（1，

3

），
∴點(diǎn)B關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-

3

）；

（2）設(shè)經(jīng)過A（2，0）、B（1，

3

）、O（0，0）的二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），
∴

0=c 0=4a+2b+c 3 =a+b+c

，

a=- 3 b=2 3 c=0

，
∴y=-

3

x2+2

3

；

（3）存在點(diǎn)P，使四邊形PABO為梯形，
∵△BOA是等邊三角形，
點(diǎn)D是點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，
∴OA、BD相互垂直平分，
∴四邊形DABO是菱形，
∴AD∥BO，
∴所求點(diǎn)P必在直線AD上，
設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b（k≠O），
∴

0=2k+b - 3 =K+b

，
即

k= 3 b=-2 3

，
∴y=

3

x-2

3

，
聯(lián)立

y= 3 x-2 3 y=- 3 x2+2 3 x

，
解得

x1=2 y1=0

x2=-1 y1=-3 3

，
當(dāng)

x1=2 y1=0

時，就是點(diǎn)A（2，0）；
當(dāng)

x2=-1 y1=-3 3

時，
即為所求點(diǎn)P（-1，-3

3

），
過點(diǎn)P作PG⊥x軸于G，則|PG|=3

3

，
∴PA=6而BO=2，
在四邊形PABO中，BO∥AP且BO≠AP，
∴四邊形PABO不是平行四邊形，
∴OP與AB不平行，
∴四邊形PABO為梯形，
同理，在拋物線上可求得另一點(diǎn)P（3，-3

3

），也能使四邊形PABO為梯形．
故存在點(diǎn)P（-1，-3

3

），或P（3，-3

3

），使四邊形PABO為梯形．

點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)與園的知識的綜合應(yīng)用，解題時要注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，還要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．