Question

已知，如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的對(duì)角線AC所在直線解析式為y=-

3

3

x+1．
（1）在x軸上存在這樣的點(diǎn)M，使AMB為等腰三角形，求出所有符合要求的點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開始在線段CO上以每秒

3

個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)O移動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O開始在線段OA上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A移動(dòng)．設(shè)P、Q移動(dòng)的時(shí)間為t秒．
①是否存在這樣的時(shí)刻2，使△OPQ與△BCP相似，并說(shuō)明理由；
②設(shè)△BPQ的面積為S，求S與t間的函數(shù)關(guān)系式，并求出t為何值時(shí)，S有最小值．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)橹本�AB的解析式已知，所以可求得A、B、C的坐標(biāo)，若△AMB是等腰三角形，則可能MA=MB或MA=AB或MB=AB，分別分析求解即可；
（2）①假設(shè)相似，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求解即可；
②因?yàn)镾=S_矩形OABC-S_△ABQ-S_△OPQ-S_△BCP求解即可．

解答：解：（1）易知A（0，1），C（

3

，0），B（

3

，1）．
①AB為腰且MA=AB時(shí)，
由題意可知，AM₂=AB=

3

，
∴OM₂=

2

．
∴M₂（

2

，0），由對(duì)稱性知M₄（-

2

，0），
②AB為腰且MB=AB時(shí)，
由題意得OM₄=OC-CM₄=

3

-

2

，
∴M₁（

3

-

2

，0），
由對(duì)稱性可知M₃（

3

+

2

，0），
③AB為底邊，則M₅（

1

2

3

，0）；

（2）①假設(shè)存在這樣的時(shí)刻t，使△OPQ與△BCP相似．
∵CP=

3

t，OQ=t，OP=

3

-

3

t，
由

OQ

BC

=

OP

CP

或

OQ

CP

=

OP

BC

得：

t

1

=

3 - 3 t

3 t

或

t

3 t

=

3 - 3 t

t

，
即t²+t-1=0或3t=2，
解得t=

-1± 5

2

或t=

2

3

．
又∵0≤t≤1，
∴當(dāng)t=

-1+ 5

2

或t=

2

3

時(shí)，△OPQ與△BCP相似．（7分）
②S=S_矩形OABC-S_△ABQ-S_△OPQ-S_△BCP
=

3

-

3

2

（1-t）-

1

2

t（

3

-

3

t）-

1

2

•

3

t
=

3

2

(t2-t+1)
=

3

2

（t-

1

2

）²+

3 3

8

當(dāng)t=

1

2

時(shí)，面積S有最小值，最小值是

3 3

8

．（10分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了平面坐標(biāo)系與四邊形，相似三角形的綜合知識(shí)，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．