Question

如圖1，P（1，n）為反比例函數(shù)（x＞0）圖象上一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)的直線y=kx+3k與x軸負(fù)半軸交于A點(diǎn)，與y軸正半軸交于點(diǎn)C，且S_△AOP=3．

（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；
（2）圖2上作PB⊥x軸于B點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)的直線l分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于M、N兩點(diǎn)，是否存在這樣的直線l，使得△MON與△ABP全等？若存在，請(qǐng)求出直線l的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）如圖3，直線y=-x+2分別與x軸、y軸交于C、D兩點(diǎn)，Q為反比例函數(shù)（x＞0）圖象上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)Q點(diǎn)作QG⊥x軸于G點(diǎn)，QH⊥y軸于H點(diǎn)，與直線CD分別交于E、F兩點(diǎn)，連接OE、OF，當(dāng)Q點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，∠EOF的值是否變化？若改變，求出其變化范圍；若不變，試求其度數(shù)．

Answer 1

解：（1）由y=kx+3k知，A（-3，0），
∴OA=3，
∵S_△AOP=3，
∴×3n=3，
解得n=2，
∴P（1，2），
把P（1，2）代入y=，
得m=2，
∴反比例函數(shù)解析式為y=，
把P（1，2）代入y=kx+3k，得k=，
∴一次函數(shù)的解析式為y=x+；

（2）∵P（1，2），
∴OB=1，PB=2，
∴AB=4，
∵△MON與△ABP全等，
則①OM=PB=2，
ON=AB=4，
或②OM=AB=4，
ON=PB=2，
①條件，M（2，0），N（0，4），
于是可以得到直線MN解析式y(tǒng)=-2x+4，
將點(diǎn)P（1，2）代入解析式滿足條件，
即點(diǎn)P在直線MN上；
②條件下，M′（4，0），N′（0，2），
于是可以得到直線M′N′解析式y(tǒng)=-x+2，
將點(diǎn)P（1，2）代入解析式不滿足條件，
即點(diǎn)P不在直線MN上；
綜上①②所述，存在直線l：y=-2x+4使得△MON與△ABP全等；

（3）作∠COI=∠POF，CI⊥PC，交OI于I，連接EI，
∵∠OCI=90°-∠PCO=45°=∠OPF，且PO=OC，
∴△OPF≌△OCI，
∴OF=OI，PF=CI，
設(shè)Q（a，b），
則OG=a，OH=b，
∵點(diǎn)E、F在直線y=-x+2上，
∴E（a，-a+2），F(xiàn)（2-b，b），
∴EG=-a+2，HF=2-b，
∴CI=PF=HF=（2-b），
EC=EG=（2-a），
∴EI²=CI²+EC²=2（2-b）²+2（2-a）²，
∵FQ=a-（2-b），
∴EF=FQ=（a+b-2），
∴EF²=2（a+b-2）²，
∴EF=EI，
∴△OFE≌△OIE，
∴∠EOF=∠EOI=×90°=45°．
分析：（1）首先求出A點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出OA的長(zhǎng)，再根據(jù)已知三角形的面積求出n的值，P點(diǎn)坐標(biāo)求出一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式即可求出；
（2）根據(jù)P點(diǎn)坐標(biāo)求出OB，PB及AB的長(zhǎng)度，使得△MON與△ABP全等則有兩種可能，①OM=PB=2，ON=AB=4，或②OM=AB=4，ON=PB=2，分別求出M和N點(diǎn)坐標(biāo)，求出過(guò)其兩點(diǎn)的直線解析式即可，最后進(jìn)行驗(yàn)證直線解析式是否滿足條件；
（3）作∠COI=∠POF，CI⊥PC，交OI于I，連接EI，首先證明△OPF≌△OCI，得OF=OI，PF=CI，設(shè)Q（a，b），則OG=a，OH=b，用a和b表示出E和F點(diǎn)的坐標(biāo)，證明出EF=EI，再△OFE≌△OIE，即可判斷出∠EOF=∠EOI=×90°=45°．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查反比例函數(shù)的綜合題，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)以及全等三角形的證明，特別是第三問(wèn)，Q點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)則要一結(jié)論為定值，有一定的難度．