Question

【題目】已知D是Rt△ABC斜邊AB的中點(diǎn)，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，過(guò)點(diǎn)D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，連接CE并延長(zhǎng)CE到P，使EP＝CE，連接BE，FP，BP，設(shè)BC與DE交于M，PB與EF交于N．

（1）如圖1，當(dāng)D，B，F共線時(shí)，求證：

①EB＝EP；

②∠EFP＝30°；

（2）如圖2，當(dāng)D，B，F不共線時(shí)，連接BF，求證：∠BFD+∠EFP＝30°．

Answer 1

【答案】（1）①見(jiàn)解析 ②30°（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）①本題主要考查通過(guò)角度計(jì)算求證平行，繼而證明△CBP是直角三角形，根據(jù)直角三角形斜邊中線可得結(jié)論．

②本題以上一問(wèn)結(jié)論為解題依據(jù)，考查平行線以及垂直平分線的應(yīng)用，根據(jù)同位角相等可得BC∥EF，由平行線的性質(zhì)得BP⊥EF，可得EF是線段BP的垂直平分線，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得∠PFE＝∠BFE＝30°．

（2）本題主要考查輔助線的做法以及垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，需要延長(zhǎng)DE到Q，使EQ＝DE，連接CD，PQ，FQ，證明△QEP≌△DEC（SAS），則PQ＝DC＝DB，由QE＝DE，∠DEF＝90°，知EF是DQ的垂直平分線，證明△FQP≌△FDB（SAS），再由EF是DQ的垂直平分線，可得結(jié)論．

證明（1）①∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°

∴∠A＝90°﹣30°＝60°

同理∠EDF＝60°

∴∠A＝∠EDF＝60°

∴AC∥DE

∴∠DMB＝∠ACB＝90°

∵D是Rt△ABC斜邊AB的中點(diǎn)，AC∥DM

∴

即M是BC的中點(diǎn)

∵EP＝CE，即E是PC的中點(diǎn)

∴ED∥BP

∴∠CBP＝∠DMB＝90°

∴△CBP是直角三角形

∴BE＝PC＝EP

②∵∠ABC＝∠DFE＝30°

∴BC∥EF

由①知：∠CBP＝90°

∴BP⊥EF

∵EB＝EP

∴EF是線段BP的垂直平分線

∴PF＝BF

∴∠PFE＝∠BFE＝30°

（2）如圖2，延長(zhǎng)DE到Q，使EQ＝DE，連接CD，PQ，FQ

∵EC＝EP，∠DEC＝∠QEP

∴△QEP≌△DEC（SAS）

則PQ＝DC＝DB

∵QE＝DE，∠DEF＝90°

∴EF是DQ的垂直平分線

∴QF＝DF

∵CD＝AD

∴∠CDA＝∠A＝60°

∴∠CDB＝120°

∴∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP

∴△FQP≌△FDB（SAS）

∴∠QFP＝∠BFD

∵EF是DQ的垂直平分線

∴∠QFE＝∠EFD＝30°

∴∠QFP+∠EFP＝30°

∴∠BFD+∠EFP＝30°