Question

已知：如圖，直線PA交⊙O于A、B兩點，AE是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，且AC平分∠PAE，過點C作CD⊥PA，垂足為點D．
（1）求證：CD與⊙O相切；
（2）若tan∠ACD=，⊙O的直徑為10，求AB的長．

Answer 1

（1）證明：連結(jié)OC，
∵點C在⊙O上，OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵CD⊥PA，
∴∠CDA=90°，有∠CAD+∠DCA=90°，
∵AC平分∠PAE，
∴∠DAC=∠CAO，
∴∠DAC=∠OCA，
∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠DAC=90°．
∵點C在⊙O上，OC為⊙O的半徑，
∴CD為⊙O的切線．

（2）解：過點O作OG⊥AB于G，
∵∠OCD=90°，CD⊥PA，
∴四邊形OCDG是矩形，
∴OG=CD，GD=OC，
∵⊙O的直徑為10，
∴OA=OC=5，
∴DG=5，
∵tan∠ACD=，設(shè)AD=x，CD=2x，則OG=2x，
∴AG=DG-AD=5-x，
在Rt△AGO中，由勾股定理知AG²+OG²=OA²，
∴（5-x）²+（2x）²=25，
解得x₁=2，x₂=0（舍去），
∴由垂徑定理得：AB=2AG=2×（5-2）=6．
分析：（1）連接OC，求出∠DAC+∠DCA=90°，得出∠DCA+∠OCA=90°，根據(jù)切線判定推出即可；
（2）過點O作OG⊥AB于G，得出矩形GOCD，求出CD，解直角三角形和根據(jù)勾股定理求出AD，求出AG，即可求出答案．
點評：本題考查了矩形的性質(zhì)和判定，切線的判定，垂徑定理，解直角三角形的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力和計算能力．