Question

（2013•汕頭）有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=4

3

．將這副直角三角板按如圖1所示位置擺放，點B與點F重合，直角邊BA與FD在同一條直線上．現(xiàn)固定三角板ABC，將三角板DEF沿射線BA方向平行移動，當點F運動到點A時停止運動．
（1）如圖2，當三角板DEF運動到點D到點A重合時，設EF與BC交于點M，則∠EMC=

15

度；
（2）如圖3，當三角板DEF運動過程中，當EF經(jīng)過點C時，求FC的長；
（3）在三角板DEF運動過程中，設BF=x，兩塊三角板重疊部分的面積為y，求y與x的函數(shù)解析式，并求出對應的x取值范圍．

Answer 1

分析：（1）如題圖2所示，由三角形的外角性質(zhì)可得；
（2）如題圖3所示，在Rt△ACF中，解直角三角形即可；
（3）認真分析三角板的運動過程，明確不同時段重疊圖形的變化情況：
（I）當0≤x≤2時，如答圖1所示；
（II）當2＜x≤6-2

3

時，如答圖2所示；
（III）當6-2

3

＜x≤6時，如答圖3所示．

解答：解：（1）如題圖2所示，
∵在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=4

3

，
∴tan∠DFE=

DE

DF

=

3

，∴∠DFE=60°，
∴∠EMC=∠FMB=∠DFE-∠ABC=60°-45°=15°；

（2）如題圖3所示，當EF經(jīng)過點C時，
FC=

AC

sin∠AFC

=

6

sin60°

=

6

3 2

=4

3

；

（3）在三角板DEF運動過程中，
（I）當0≤x≤2時，如答圖1所示：

設DE交BC于點G．
過點M作MN⊥AB于點N，則△MNB為等腰直角三角形，MN=BN．
又∵NF=

MN

tan60°

=

3

3

MN，BN=NF+BF，
∴NF+BF=MN，即

3

3

MN+x=MN，解得：MN=

3+ 3

2

x．
y=S_△BDG-S_△BFM
=

1

2

BD•DG-

1

2

BF•MN
=

1

2

（x+4）²-

1

2

x•

3+ 3

2

x
=-

3 +1

4

x²+4x+8；
（II）當2＜x≤6-2

3

時，如答圖2所示：

過點M作MN⊥AB于點N，則△MNB為等腰直角三角形，MN=BN．
又∵NF=

MN

tan60°

=

3

3

MN，BN=NF+BF，
∴NF+BF=MN，即

3

3

MN+x=MN，解得：MN=

3+ 3

2

x．
y=S_△ABC-S_△BFM
=

1

2

AB•AC-

1

2

BF•MN
=

1

2

×6²-

1

2

x•

3+ 3

2

x
=-

3+ 3

4

x²+18；
（III）當6-2

3

＜x≤6時，如答圖3所示：

由BF=x，則AF=AB-BF=6-x，
設AC與EF交于點M，則AM=AF•tan60°=

3

（6-x）．
y=S_△AFM=

1

2

AF•AM=

1

2

（6-x）•

3

（6-x）=

3

2

x²-6

3

x+18

3

．
綜上所述，y與x的函數(shù)解析式為：
y=

- 3 +1 4 x2+4x+8(0≤x≤2) - 3+ 3 4 x2+18(2＜x≤6-2 3 ) 3 2 x2-6 3 x+18 3 (6-2 3 ＜x≤6)

．

點評：本題是運動型綜合題，解題關鍵是認真分析三角板的運動過程，明確不同時段重疊圖形形狀的變化情況．在解題計算過程中，除利用三角函數(shù)進行計算外，也可以利用三角形相似，殊途同歸．