Question

如圖，C在射線BM上，在平行四邊形ABCD中，AC=BD=10，，對(duì)角線AC與BD相交于O點(diǎn)．在射線BM上截取一點(diǎn)E，使OC=CE，連接OE，與邊CD相交于點(diǎn)F．
（1）求CF的長(zhǎng)；
（2）在沒(méi)有“OC=CE”的條件下，連接DE、AE，AE與對(duì)角線BD相交于P點(diǎn)，若△ADE為等腰三角形，請(qǐng)求出DP的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)已知條件求得CD=6，討論當(dāng)E點(diǎn)在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，CF的長(zhǎng)，以及當(dāng)E點(diǎn)在邊BC上時(shí)，易證F在CD的延長(zhǎng)線上，與題意不符，
（2）根據(jù)題意分情況進(jìn)行解答，①交于BC的延長(zhǎng)線上，②交于邊BC，即可得出DP的長(zhǎng)．
解答：解：（1）∵ABCD為平行四邊形且AC=BD，
∴ABCD為矩形，
∴∠ACD=90°
在RT△CAD中，tan∠CAD=，
設(shè)CD=3k，AD=4k，
∴（3k）²+（4k）²=10²，
解得k=2，
∴CD=3k=6，
（Ⅰ）當(dāng)E點(diǎn)在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，
過(guò)O作OG⊥BC于G，
∴，
∴OG=3
同理可得：，即BG=GC=4，
又∵，
∴，
∴
解得，
（Ⅱ）當(dāng)E點(diǎn)在邊BC上時(shí)，易證F在CD的延長(zhǎng)線上，與題意不符，舍去．

（2）若△ADE為等腰三角形，
（Ⅰ）AD=ED=8（交于BC的延長(zhǎng)線上），
由勾股定理可得：，
∵AD∥BE，
∴，
設(shè)PD=4a，則BP=4a+a，
∴BP+PD=BD=10=，
解得，
∴，
（Ⅱ）AD=ED=8（交于邊BC），
同理可得：，
∴，
解得，
∴，
（Ⅲ）AE=ED，
易證：△AEB≌△DEC，
∴，
∴同理可得：，則，
∴，PD=，
（Ⅳ）AE=AD=8，
∴
∴同理可得：，

∴，
∴綜上所述，若△ADE為等腰三角形，或．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平行線分線斷成比例，全等三角形的判定，勾股定理以及矩形的判定與性質(zhì)，比較綜合，難度適中．