Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=10cm，長(zhǎng)為4cm的線段DE在邊AC上，且點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，線段DE從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，直到點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，速度1cm/s。過(guò)點(diǎn)F作PF⊥AC，交AB于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PQ//AC，交BC于點(diǎn)Q,連接PD,PE,QE,設(shè)線段DE的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）.（0≤t≤6）

（1）請(qǐng)分別用含有t的代數(shù)式表示線段PF、BQ

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PFCQ為正方形？

（3）設(shè)四邊形PDEQ的面積為y（cm）請(qǐng)求出y與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PDEQ的面積最大，最大是多少？

（4）是否存在某一時(shí)刻t，使得EP平分∠AEQ？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）PF=t+2，BQ=8-t;（2）t=3s;（3）t=5,y=24.5;（4）存在.時(shí)，EP平分∠AEQ

【解析】

（1）根據(jù)∠C=90°，AC=BC=10cm，可得∠A= ，再根據(jù)PF⊥AC可得AF=PF，根據(jù)題意可得AF=t+2，CF=8-t，即可得出答案。

（2）當(dāng)PF=PQ時(shí)，四邊形PFCQ為正方形，列出方程即可。

（3）用矩形DFCQ的面積加上三角形PDF的面積，再減去三角形QEC的面積得到四邊形PDEQ的面積，列出y與t的函數(shù)關(guān)系式即可。

（4）先假設(shè)得EP平分∠AEQ，則∠AEP=∠QEP, 再根據(jù) PQ//AC，得出∠AEP=∠QPE, ∠QEP=∠QPE,得出QE=QP,列出方程，方程有解就存在，沒(méi)解就不存在。

（1）∵∠C=90°，AC=BC=10cm，∴∠A=∠B=, ∵PF⊥AC，∴∠AFP=90°, ∴AF=PF,同理可證，BQ=PQ，∵點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，DE=4，∴DF=EF=2, ∴AF=t+2，∴PF=t+2，則CF=AC-AF=8-t，∵PF⊥AC，∠C=90°，PQ//AC，則四邊形PFCQ是矩形，∴PQ=CF, BQ=CF = 8-t；

（2）∵四邊形PFCQ為正方形，∴PF= CF，∴t+2=8-t，∴t=3，∴t=3時(shí)四邊形PFCQ為正方形。

（3）y==(t+2)(8-t)+2(t+2)-(10-t-4)（t+2）

∴y=-+5t+12，∵a=-0，∴當(dāng)t=5時(shí)，=24.5

∴當(dāng)t=5時(shí)，四邊形PDEQ的面積最大，最大面積為24.5

（4）∵EP平分∠AEQ，∴∠AEP=∠QEP, ∵PQ//AC，∴∠AEP=∠QPE, ∴∠QEP=∠QPE, ∴QE=QP=8-t, ∴在RtECQ中， ∴

解得：t=，t=（舍去）

∴存在時(shí)，EP平分∠AEQ