Question

【題目】如圖，在ABCD中，點(diǎn)E是邊AD上一點(diǎn)，延長(zhǎng)CE到點(diǎn)F，使∠FBC＝∠DCE，且FB與AD相交于點(diǎn)G．

（1）求證：∠D＝∠F；

（2）用直尺和圓規(guī)在邊AD上作出一點(diǎn)P，使△BPC∽△CDP，并加以證明．（作圖要求：保留痕跡，不寫(xiě)作法．）

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析．

【解析】

（1）根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形可得AD∥BC，∠FGE＝FBC，再根據(jù)已知∠FBC＝∠DCE，進(jìn)而可得結(jié)論；

（2）作三角形FBC的外接圓交AD于點(diǎn)P即可證明．

解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC

∴∠FGE＝∠FBC

∵∠FBC＝∠DCE，

∴∠FGE＝∠DCE

∵∠FEG＝∠DEC

∴∠D＝∠F．

（2）如圖所示：

點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)．

證明：作BC和BF的垂直平分線，交于點(diǎn)O，

作△FBC的外接圓，

連接BO并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)P，

∴∠PCB＝90°

∵AD∥BC

∴∠CPD＝∠PCB＝90°

由（1）得∠F＝∠D

∵∠F＝∠BPC

∴∠D＝∠BPC

∴△BPC∽△CDP．