Question

已知：如圖，在以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點，
（1）試猜想AC與BD的大小關系，并說明理由；
（2）若AB=24，CD=10，小圓的半徑為5

2

，求大圓的半徑．

Answer 1

分析：（1）過O作OE⊥AB于點E，根據垂徑定理得到AE=BE，CE=DE，從而得到AC=BD；
（2）連接OC，OA，由（1）中知AE=BE，CE=DE，故可得出AE及CE的長，在Rt△OCE中利用勾股定理求出OE的長，再在Rt△OAE中利用勾股定理可求出OA的長，故可得出結論．

解答：（1）AC=BD．
證明：作OE⊥AB于點E，
∵OE⊥AB，
∴AE=BE，CE=DE，
∴AC=BD；

（2）解：連接OC，OA，
∵AB=24，CD=10，由（1）中知AE=BE，CE=DE，
∴AE=

1

2

AB=

1

2

×24=12，CE=

1

2

CD=

1

2

×10=5，
∵在Rt△OCE中，CE=5，OC=5

2

，
∴OE=

OC2-CE2

=

(5 2 )2-52

=5，
∵在Rt△OAE中，OE=5，AE=12，
∴OA=

AE2+OE2

=

122+52

=13，
∴大圓的半徑等于13．

點評：本題考查的是垂徑定理及勾股定理，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．