Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，點(diǎn)D在BC上，且CD=3cm．現(xiàn)有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)P以1厘米/秒的速度沿AC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)P作PE∥BC交AD于點(diǎn)E，連接EQ．設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．
（1）連接PQ，在運(yùn)動(dòng)過程中，不論t取何值時(shí)，總有線段PQ與線段AB平行，為什么？
（2）連接DP，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形EQDP能成為平行四邊形？
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△EDQ為直角三角形？

Answer 1

分析：（1）先用t表示出PC及CQ的長，再求出

PC

AC

=

QC

BC

，即可得出結(jié)論；
（2）先由PE∥CD，得△APE∽△ACD，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，求出PE的長，再根據(jù)四邊形EQDP是平行四邊形，得PE=DQ，可用含t的代數(shù)式表示出DQ的長，聯(lián)立PE的表達(dá)式列方程求出t的值即可；
（3）由于∠EDQ≠90°，所以當(dāng)△EDQ為直角三角形時(shí)，可分兩種情況進(jìn)行討論：①∠EQP=90°；②∠QED=90°．兩種情況都可以通過證明三角形相似，列出比例關(guān)系式，從而求出t的值．

解答：解：（1）如圖1，
∵點(diǎn)P以1厘米/秒的速度從點(diǎn)A沿AC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以1.25厘米/秒的速度從點(diǎn)B沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，
∴AP=t，BQ=1.25t，
∴PC=AC-AP=4-t，QC=BC-BQ=5-1.25t，
∴

PC

AC

=

4-t

4

=1-

t

4

，

QC

BC

=

5-1.25t

5

=1-

t

4

，
∴

PC

AC

=

QC

BC

，
∴PQ∥AB；

（2）如圖2，∵PE∥CD，
∴△AEP∽△ADC，
∴

EP

DC

=

AP

AC

，
∴

EP

3

=

t

4

，
∴EP=

3t

4

．
∵四邊形EQDP是平行四邊形，
∴EP=QD，即

3t

4

=2-1.25t，
解得t=1．
故當(dāng)t為1秒時(shí)，四邊形EQDP能成為平行四邊形；

（3）分兩種情況討論：
①如圖3，當(dāng)∠EQD=90°時(shí)，顯然有EQ=PC=4-t，
又∵EQ∥AC，
∴△EDQ∽△ADC，
∴

EQ

AC

=

DQ

DC

，即

4-t

4

=

1.25t-2

3

，
解得t=2.5（秒）；
②如圖4，當(dāng)∠QED=90°時(shí)，作EM⊥BC于M，CN⊥AD于N，則四邊形EMCP是矩形，EM=PC=4-t．
在Rt△ACD中，∵AC=4厘米，CD=3厘米，
∴AD=

AC2+CD2

=5，
∴CN=

AC•CD

AD

=

12

5

．
∵∠EDQ=∠CDA，∠QED=∠ACD=90°，
∴△EDQ∽△CDA，
∴

DQ

AD

=

EM

CN

，

1.25t-2

5

=

4-t

12 5

，
解得t=3.1（秒）．
綜上所述，當(dāng)t=2.5秒或t=3.1秒時(shí)，△EDQ為直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似三角形綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的及直角三角形的性質(zhì)，難度較大．