Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在BC上，BD=DC，過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E，⊙O經(jīng)過A，B，D三點(diǎn)．

（1）求證：AB是⊙O的直徑；

（2）判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并加以證明；

（3）若⊙O的半徑為3，∠BAC=60°，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）DE與圓O相切；（3）．

【解析】

試題分析：（1）連接AD，由AB=AC，BD=CD，利用等腰三角形三線合一性質(zhì)得到AD⊥BC，利用90°的圓周角所對的弦為直徑即可得證；

（2）DE與圓O相切，理由為：連接OD，由O、D分別為AB、CB中點(diǎn)，利用中位線定理得到OD與AC平行，利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到∠ODE為直角，再由OD為半徑，即可得證；

（3）由AB=AC，且∠BAC=60°，得到三角形ABC為等邊三角形，連接BF，DE為三角形CBF中位線，求出BF的長，即可確定出DE的長．

試題解析：（1）連接AD，∵AB=AC，BD=DC，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴AB為圓O的直徑；

（2）DE與圓O相切，理由為：

連接OD，∵O、D分別為AB、BC的中點(diǎn)，∴OD為△ABC的中位線，∴OD∥BC，∵DE⊥BC，∴DE⊥OD，∵OD為圓的半徑，∴DE與圓O相切；

（3）解：∵AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC為等邊三角形，∴AB=AC=BC=6，連接BF，∵AB為圓O的直徑，∴∠AFB=∠DEC=90°，∴AF=CF=3，DE∥BF，∵D為BC中點(diǎn)，∴E為CF中點(diǎn)，即DE為△BCF中位線，在Rt△ABF中，AB=6，AF=3，根據(jù)勾股定理得：BF==，則DE=BF=．