Question

如圖，已知直角坐標(biāo)系內(nèi)有一條直線和一條曲線，這條直線和x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，且OA=OB=1，這條曲線是函數(shù)y=

1

2x

的圖象在第一限內(nèi)的一個(gè)分支，點(diǎn)P是這條曲線的任意一點(diǎn)，它的坐標(biāo)是（a，b），由點(diǎn)P向x軸、y軸所作的垂線PM、PN（點(diǎn)M、N為垂足）分別與直線AB相交于點(diǎn)E和F．
（1）求△OEF的面積（a，b的代數(shù)式表示）；
（2）△AOF與△BOE是否一定相似？如果一定相似，請(qǐng)證明；如果不一定相似，請(qǐng)說明理由；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在曲線上移動(dòng)時(shí)，△OEF隨之變動(dòng)，指出在△OEF的三個(gè)內(nèi)角中，是否有大小始終保持不變的角？若有，請(qǐng)求出其大��；若沒有，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）根據(jù)題意，易知：直線AB的解析式為y=-x+1，
點(diǎn)E的坐標(biāo)是（a，1-a），點(diǎn)F的坐標(biāo)是（1-b，b），
當(dāng)PM、PN與線段AB都相交時(shí)，如圖1，
∴S_△EOF=S_△AOB-S_△AOE-S_△BOF
=

1

2

×1×1-

1

2

×1×(1-a)-

1

2

×1×(1-b)
=

a+b-1

2

，
當(dāng)PM、PN中有一條與AB相交，另一條與BA延長(zhǎng)線或AB延長(zhǎng)線相交時(shí)，如圖2和圖3，
∴S_△EOF=S_△FOA+S_△AOE=

1

2

×1×b+

1

2

×1×（a-1）=

a+b-1

2

，
∴S_△EOF=S_△FOB+S_△BOE=

1

2

×1×(b-1)+

1

2

×1×a=

a+b-1

2

，
即S_△EOF=

a+b-1

2

；

（2）△AOF和△BEO一定相似．
∵如圖1，OA=OB=1，
∴∠OAF=∠EBO，
∴BE=BA-AE=

2

-

(1-a)2+(1-a)2

=

2

a，
AF=BA-BF=

2

-

(1-b)2+(1-b)2

=

2

b，
∵點(diǎn)P是函數(shù)y=

1

2x

圖象上任意一點(diǎn)，
∴b=

1

2a

，即2ab=1，
∴

2

a×

2

b=1即，AF•BE=OB•OA，
∴

AF

OB

=

OA

BE

，
∴△AOF∽△BEO，
∵對(duì)圖2，圖3同理可證，
∴△AOF∽△BEO；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在曲線上移動(dòng)時(shí)，在△OEF中，∠EOF一定等于45°，
由（2）知，△AOF∽△BEO，
∴∠AFO=∠BOE，
如圖1，在△BOF中，∠AFO=∠BOF+∠B，
而∠BOE=∠BOF+∠EOF，
∴∠EOF=∠B=45°，
對(duì)圖2，圖3同理可證，
∴∠EOF=45°．