Question

如圖，△ABC內接于⊙O，BC是⊙O的直徑，OE⊥AC，垂足為E，過點A作⊙O的切線與BC的延長線交于點D，sinD=

1

2

，OD=20．
（1）求∠ABC的度數(shù)； 
（2）連接BE，求線段BE的長．

Answer 1

分析：（1）連接OA，由于AD是切線，那么∠OAD=90°，而sinD=

1

2

，易知∠D=30°，那么易求∠AOC，再利用外角的性質，可求∠ABC；
（2）根據(jù)（1）知，∠D=30°，OD=20，易證△AOC是等邊三角形，那么AC=10，在Rt△ABC中，利用∠ABC的正切值可求AB，再在Rt△ABE中，利用勾股定理可求BE．

解答：解：（1）連接OA，

∵AD為⊙O切線，
∴∠OAD=90°，
∵sinD=

1

2

，
∴∠D=30°，
∴∠AOC=60°，
∴∠ABC=

1

2

∠AOC=30°；

（2）

在Rt△OAD中，∠D=30°，OD=20，
∴∠AOD=60°，
又∵OA=OC，
∴△AOC是等邊三角形，
∴AC=10，
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BAC=90°，
在Rt△BAC中，AB=

AC

tan∠ABC

=10

3

，
在Rt△ABE中，BE=

AB2+AE2

=5

13

．

點評：本題考查了切線的性質、三角形外角的性質、解直角三角形、勾股定理、等邊三角形的判定和性質．解題關鍵是連接OA，構造直角三角形，并且證明△AOC是等邊三角形．