Question

已知等腰△ABC中，AB=AC，D是BC的中點，將三角板中的90°角的頂點繞D點在△ABC內(nèi)旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與AB、AC交于E、F，且點E、F不與A、B、C三點重合．
（1）如果∠A=90°，求證：DE=DF；
（2）如果DF∥AB，則結(jié)論：“四邊形AEDF為直角梯形”是否正確？若正確，請證明；若不正確，請畫出草圖舉反例．

Answer 1

分析：（1）連接AD，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)可得AD⊥BC，AD=DC，再根據(jù)同角的余角相等求出∠ADE=∠CDF，然后利用“角邊角”證明△ADE和△CDF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證；
（2）不成立，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠AED=90°，然后證明四邊形ADEF是矩形，所以不是梯形．

解答：（1）證明：如圖1，連接AD，∵∠A=90°，AB=AC，D是BC的中點，
∴AD⊥BC，AD=DC，
∴∠EAD=∠C=45°，
∵∠EDF=90°，
∴∠ADE+∠ADF=90°，∠CDF+∠ADF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
∵

∠EAD=∠C=45° AD=CD ∠ADE=∠CDF

，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴DE=DF；

（2）解：結(jié)論不成立．
反例如下：如圖2，取∠A=90°時，四邊形ADEF是矩形，不是直角梯形．
∵DF∥AB，∠EDF=90°，
∴∠AED=180°-90°=90°，
所以，當(dāng)∠A=90°時，四邊形ADEF是矩形，不是直角梯形．

點評：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角梯形的判定，作出輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．