Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，圖形W在坐標軸上的投影長度定義如下：

設(shè)點P，Q是圖形W上的任意兩點.若的最大值為m，則圖形W在x軸上的投影長度=m；若的最大值為n，則圖形W在y軸上的投影長度=n，如下圖，圖形W在x軸上的投影長度==2;在y軸上的投影長度==4.

（1）已知點A(3，3)，B(4，1).如圖1所示，若圖形W為△OAB，則=___________ =___________

（2）已知點C(4，0)，點D在直線y=-2x+6上，若圖形W為△OCD.當=時，求點D的坐標.

（3）如圖2所示，已知點A(3，0)，B(0，4)，將△BOA繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得△CDA，連接OD，BD.若圖形W為點O.A.C.D.B圍成的多邊形圖象，且∠DOA=∠OBA，直接寫出的值

Answer 1

【答案】（1）；（2）點D的坐標為（1，4）或（6，-6），（3）或

【解析】

（1）確定出點A在y軸的投影的坐標、點B在x軸上投影的坐標，于是可求得問題的答案；

（2）過點P作PD⊥x軸，垂足為P．設(shè)D（x，-2x+6），則PD=|-2x+6|．PC=|4-x|，然后依據(jù)，列方程求解即可．

（3）分情況討論，當D在第一象限時，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合∠DOA=∠OBA，證明三點共線，過C作CFOB于F，過C作CGOA于G，設(shè) 利用勾股定理列出方程組即可得到答案．當D在第四象限時，過D作DFOB于F，過D作DGOA于G，則四邊形為矩形，設(shè) 建立方程組求解即可．

解：（1）∵A（3，3），

∴點A在y軸上的正投影的坐標為（0，3）．

∴△OAB在y軸上的投影長度．

∵B（4，1），

∴點B在x軸上的正投影的坐標為（4，0）．

∴△OAB在x軸上的投影長度．

故答案為：4，3．

（2）如圖1所示；過點P作PD⊥x軸，垂足為P．

0≤x≤3時，-2x+6=4， 解得x=1．

∴D（1，4）．

如圖2所示：過點D作DP⊥x軸，垂足為P．

當3＜x≤4時，

所以2x-6=4，

解得：x=5（舍去），

如圖3所示，當點D在C點右側(cè)，x＞4時，

x=2x-6， 可得x=6 ，

點D坐標（6，-6），

如圖4所示：當 x＜0時，-2x+6=4-x，

解得：x=2 舍去，

綜上所述，點D的坐標為（1，4）或（6，-6）．

（3）如圖，當D在第一象限時，

∠DOA=∠OBA，

由旋轉(zhuǎn)可知：

是的垂直平分線，

三點共線，

過C作CFOB于F，過C作CGOA于G，

則四邊形為矩形，

設(shè)

由勾股定理得：

消去得：

（舍去）

如下圖，當點C旋轉(zhuǎn)到軸的負半軸上，D在第四象限時，

同理可得：是的垂直平分線，

過D作DFOB于F，過D作DGOA于G，

則四邊形為矩形，

設(shè)

同理可得：

消去得：

（舍去）

此時：

綜上：或