Question

【題目】如圖，在中，，過(guò)點(diǎn)的直線，為邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，垂足為，連接，．

（1）求證：；

（2）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，四邊形是什么特殊四邊形？請(qǐng)說(shuō)明你的理由；

（3）若為的中點(diǎn)，則當(dāng)的大小滿足什么條件時(shí)，四邊形是正方形？請(qǐng)說(shuō)明你的理由．

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析;(3)見(jiàn)解析.

【解析】

（1）先求出四邊形ADEC是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推出即可；

（2）由AD=BD，AD=CE，得到BD=CE，利用MN∥AB，得到四邊形BECD是平行四邊形，然后根據(jù)，即可得到四邊形BECD是菱形；

（3）根據(jù)∠A=45°，∠ACB=90°，則得到∠ABC=∠A=45°，從而得到AC=BC，即△ABC是等腰直角三角形，由D是AB中點(diǎn)，得到CD⊥AB，即可得到四邊形BECD是正方形．

證明：（1）∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，即，

∴四邊形是平行四邊形，

∴．

（2）四邊形是菱形．理由如下：

∵為的中點(diǎn)，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴四邊形是平行四邊形．

又∵，

∴四邊形是菱形．

（3）當(dāng)時(shí)，四邊形是正方形，理由如下：

∵，，

∴，

∴，

又∵為的中點(diǎn)，

∴，

∴，

由（2）知四邊形是菱形，

∴四邊形是正方形．