Question

【題目】在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4，點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在射線MB上，連接AN，平移△ABN，使點(diǎn)N移動到點(diǎn)M，得到△DEM（點(diǎn)D與點(diǎn)A對應(yīng)，點(diǎn)E與點(diǎn)B對應(yīng)），DM交AC于點(diǎn)P．

（1）若點(diǎn)N是線段MB的中點(diǎn)，如圖1．

①依題意補(bǔ)全圖1；

②求DP的長；

（2）若點(diǎn)N在線段MB的延長線上，射線DM與射線AB交于點(diǎn)Q，若MQ=DP，求CE的長．

Answer 1

【答案】（1）①補(bǔ)全的圖形如圖1所示，見解析；②；（2）

【解析】

（1）利用平移的性質(zhì)畫出圖形，再利用相似得出比例，即可求出線段DP的長．

（2）根據(jù)條件MQ=DP，利用平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)，求出BN的長即可解決．

（1）①如圖1，補(bǔ)全圖形

②連接AD，如圖1．

在Rt△ABN中，

∵∠B=90°，AB=4，BN=1，

∴AN=

∵線段AN平移得到線段DM，

∴DM=AN=，

AD=NM=1，AD∥MC，

∴△ADP∽△CMP．

∴

∴DP=；

（2）連接NQ，

由平移知：AN∥DM，且AN=DM．

∵MQ=DP，

∴PQ=DM．

∴AN∥PQ，且AN=PQ．

∴四邊形ANQP是平行四邊形．

∴NQ∥AP．

∴∠BQN=∠BAC=45°．

又∵∠NBQ=∠ABC=90°，

∴BN=BQ．

∵AN∥MQ，

∴．

又∵M是BC的中點(diǎn)，且AB=BC=4，

∴．

∴NB＝2（負(fù)數(shù)舍去）．

∴ME＝BN＝2．

∴CE＝22