Question

（2010•樂山）在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，O為AD的中點(diǎn)，直線l過點(diǎn)O．過A、B、C三點(diǎn)分別做直線l的垂線，垂足分別是G、E、F，設(shè)AG=h₁，BE=h₂，CF=h₃．
（1）如圖所示，當(dāng)直線l⊥AD時(shí)（此時(shí)點(diǎn)G與點(diǎn)O重合）．求證：h₂+h₃=2h₁；
（2）將直線l繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，使得l與AD不垂直．
①如圖所示，當(dāng)點(diǎn)B、C在直線l的同側(cè)時(shí)，猜想（1）中的結(jié)論是否成立，請說明你的理由；
②如圖所示，當(dāng)點(diǎn)B、C在直線l的異側(cè)時(shí)，猜想h₁、h₂、h₃滿足什么關(guān)系．（只需寫出關(guān)系，不要求說明理由）

Answer 1

【答案】分析：（1）因?yàn)锽E⊥l，GF⊥l，所以四邊形BCFE是梯形，又因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，由梯形的中位線定理可得BE+CF=2DG，O為AD的中點(diǎn)，故可證h₂+h₃=2h₁；
（2）①過點(diǎn)D作DH⊥l，垂足為H，根據(jù)AAS易證△AGO≌△DHO，所以DH=AG，又因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，由梯形的中位線性質(zhì)可得2AG=BE+CF，故（1）結(jié)論成立；②h₁、h₂、h₃滿足關(guān)系：h₂-h₃=2h₁．
解答：（1）證明：∵BE⊥l，CF⊥l，
∴CF∥EB．
又由圖知，EF≠BC，
∴四邊形BCFE是梯形
又∵GD⊥l，D是BC的中點(diǎn)，
∴GD∥FC，
∴DG是梯形的中位線
∴BE+CF=2DG
又∵O為AD的中點(diǎn)
∴AG=DG
∴BE+CF=2AG
即h₂+h₃=2h₁；

（2）①成立；
證明：過點(diǎn)D作DH⊥l，垂足為H，
在△AGO和△DHO中，
∵
∴△AGO≌△DHO（AAS）
∴DH=AG，
∵DH⊥L，BE⊥L，CF⊥L，
∴BE∥DH∥FC，
又∵D為BC的中點(diǎn)，由梯形的中位線性質(zhì)
∴2DH=BE+CF，即2AG=BE+CF
∴h₂+h₃=2h₁成立；
②h₁、h₂、h₃滿足關(guān)系：h₂-h₃=2h₁．
點(diǎn)評：此題把梯形、梯形的中位線定理和全等三角形的判定結(jié)合求解．考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識的能力．