Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，E、F均為中點(diǎn)，則下列結(jié)論中：①AF⊥DE；②AD=BP；③PE+PF= PC；④PE+PF=PC．其中正確的是 ．

Answer 1

【答案】①②③
【解析】解：如圖1，

∵正方形ABCD，E，F(xiàn)均為中點(diǎn)，

∴AD=DC=BC，∠ADC=∠DCB，EC=DF= DC，

∵在△ADF和△DCE中， ，

∴△ADF≌△DCE（SAS），

∴∠AFD=∠DEC

∵∠DEC+∠CDE=90°

∴∠AFD+∠CDE=90°=∠DPF

∴AF⊥DE，∴①正確；

如圖2，

過(guò)B作BG∥DE交AD于G，交AP于M，

∵AF⊥DE，BG∥DE，E是BC中點(diǎn)，

∴BG⊥AP，G是AD的中點(diǎn)，

∴BG是AP的垂直平分線，

∴△ABP是等腰三角形

∴BP=AB=AD，∴②正確；

如圖3，

延長(zhǎng)DE至N，使得EN=PF，連接CN，

∵∠AFD=∠DEC

∴∠CEN=∠CFP

又∵E，F(xiàn)分別是BC，DC的中點(diǎn)，

∴CE=CF，

∵在△CEN和△CFP中， ，

∴△CEN≌△CFP（SAS），

∴CN=CP，∠ECN=∠PCF，

∵∠PCF+∠BCP=90°

∴∠ECN+∠BCP=∠NCP=90°

∴△NCP是等腰直角三角形

∴PN=PE+NE=PE+PF= PC，∴③正確，④錯(cuò)誤；

∴①②③正確．

所以答案是：①②③．

【考點(diǎn)精析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形才能正確解答此題．