Question

【題目】如圖，已知直線PA交⊙O于A、B兩點(diǎn)，AE是⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上的一點(diǎn)，且AC平分∠PAE，過(guò)C作CD⊥PA于點(diǎn)D．

（1）求證：CD為⊙O的切線．

（2）若DC+DA=6，AE=26，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AB=24．

【解析】

試題分析：（1）連接OC，根據(jù)OA=OC推出∠OCA=∠OAC，根據(jù)角平分線得出∠OCA=∠OAC=∠CAP，推出OC∥AP，得出OC⊥CD，根據(jù)切線的判定推出即可；

（2）過(guò)O作OM⊥AB于M，得出矩形OMDC，推出OM=CD，OC=AM+AD，求出AM=13﹣DA，利用勾股定理求出AD的長(zhǎng)，即可求出AM的長(zhǎng)，從而求出AB的長(zhǎng)．

（1）證明：連接OC．

∵OC=OA，

∴∠OAC=∠OCA．

∵AC平分∠PAE，

∴∠DAC=∠OAC，

∴∠DAC=∠OCA，

∴AD∥OC．

∵CD⊥PA，

∴∠ADC=∠OCD=90°，

即 CD⊥OC，點(diǎn)C在⊙O上，

∴CD是⊙O的切線．

（2）解：過(guò)O作OM⊥AB于M．即∠OMA=90°，AM=BM，

∵∠MDC=∠OMA=∠DCO=90°，

∴四邊形DMOC是矩形，

∴OC=DM，OM=CD．

∵AE=26，

∴AO=13，

∴OC=AO=13，

∴DM=13，

∴AM=13﹣DA，

∵DC+DA=6，

∴OM=CD=6﹣DA，

∵在Rt△AMO中，∠AMO=90°，根據(jù)勾股定理得：AO2=AM2+OM2．

∴132=（6﹣DA）2+（13﹣DA）2，

∴DA=1或DA=18（舍去），

∴AM=13﹣1=12，

∴AB=2AM=24．